10 класс. Геометрия. Аксиомы стереометрии и их следствия.

Комментарии преподавателя

1. Напоминание аксиом стереометрии

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

2. Решение задачи

Рис. 1.

Дано: ABCD – плоский четырехугольник,  (Рис. 1.)

Требуется:

Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

Решение:

Итак, дана плоскость четырехугольника АВСD, т.е. АВСD – плоский четырехугольник. Все вершины лежат в одной плоскости. Точка М не лежит в плоскости этого четырехугольника. Надо найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

И точка М, и точка В принадлежат и плоскости МАВ, и плоскости МВС.

Значит, МВ искомая линия пересечения, . Посмотрим на Рис. 1. МВА – одна плоскость. МВС – вторая плоскость. МВ – линия их пересечения.

Ответ: прямая МВ.

3. Теорема 1 и ее доказательство

Рис. 2.

Дано:

Прямая , .

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Плоскость  единственна

Доказательство первого пункта:

Докажем, что существует плоскость . На прямой  Выберем любые две точки Р и Q:  . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость , которая содержит и прямую , и точку М, существует.

Доказательство второго пункта:

Следует доказать единственность такой плоскости.

Предположим, что существует иная плоскость , которая проходит и через точку М, и через прямую . Например, это будет плоскость, проходящая через точки ,  прямой , и точку . Но тогда эта плоскость  проходит и через прямую , и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость  совпадает с плоскостью . Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.

4. Теорема 2 и ее доказательство

Рис. 3.

Дано:

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Такая плоскость  единственна.

Доказательство:

На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть  .

Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой . По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью . Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую  и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости. То есть и прямая  и прямая b принадлежат плоскости  Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.

Докажем единственность этой плоскости.

Предположим противное. Пусть существует иная плоскость , такая, которая проходит и через прямую , и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую , и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость   совпадает с плоскостью .

Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

5. Решение задачи 1

Рис. 4.

Дано:  – куб

Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка ?

Решение:

Способ 1

Через прямую АВ и точку  можно провести плоскость, и притом только одну, в силу теоремы 1.

Способ 2

  – прямая, точка В не лежит на этой прямой. Значит, через прямую  и точку В можно провести плоскость, и притом только одну, то есть плоскость .

Способ 3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и .

В силу теоремы 2, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость .

Способ 4

В силу 1 аксиомы, через 3 точки А, В, , не лежащие на одной прямой проходит единственная плоскость .

Ответ: отрезок АВ и точка  принадлежат плоскости .

6. Решение задачи 2

Найдите прямую пересечения плоскостей  и .

Решение:

И точка  и точка   входят и в плоскость    и в плоскость . То есть, обе точки  и  одновременно лежат в двух плоскостях и  является линией их пересечения: 

Ответ:

7. Решение задачи 3

Какие плоскости пересекаются в точке А?

Мы знаем, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Другие две плоскости тоже могут пересекаться по прямой. А эти две прямые, если пересекаются, то дают точку.

Нужно узнать, какие плоскости содержат точку А

Во-первых, это плоскость АВС, т.е. плоскость нижней грани АВСD(но для названия  плоскости достаточно 3 точек, не лежащих на прямой). Итак, первая плоскость – нижнее основание АВС.

Вторая плоскость , или . Третья плоскость . Все 3 плоскости содержат точку А. Пересечением этих трех названных плоскостей является точка А.

Ответ: 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/aksiomy-stereometrii-i-ih-sledstviya/nekotorye-sledstviya-iz-aksiom?seconds=0&chapter_id=209

https://www.youtube.com/watch?v=I3O4QGgo6to

http://goodzel.ru/testy_po_teme_aksiomy_stereometrii_i_sledstviya_iz_nih_10kl_/170/article

http://900igr.net/kartinki/geometrija/Aksiomy-geometrii/001-Aksiomy-stereometrii.html

http://www.youtube.com/watch?v=ntGjMpEczAk

Файлы