10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
Комментарии преподавателя
1. Тема и цели урока
Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.
2. Определение параллельных прямых в пространстве
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).
Обозначение параллельных прямых: a || b.
Рис. 1.
3. Теорема 1 и ее доказательство
Теорема 1.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Дано: прямая а, (Рис. 2.)
Доказать: существует единственная прямая b || a,
Рис. 2.
Доказательство:
Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.
Рис. 3.
Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.
4. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Дано: а || b,
Доказать:
Рис. 4.
Доказательство: (Рис. 4.)
Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.
Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α..
Докажем, что N - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.
5. Теорема 2 и ее доказательство
Теорема 2.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Дано:
Доказать: .
Рис. 5.
Доказательство: (Рис. 5.)
Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.
Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.
Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.
Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.
6. Итоги урока
Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnye-pryamye-v-prostranstve-parallelnost-treh-pryamyh?seconds=0&chapter_id=210
http://www.youtube.com/watch?v=vLnuR_HVROY
http://verninfo.narod.ru/p2aa1.html
http://easyen.ru/load/math/10_klass/parallelnye_prjamye_v_prostranstve/41-1-0-8381
http://doc4web.ru/geometriya/teoreticheskie-samostoyatelnie-raboti-po-geometrii-klass.html