10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
Комментарии преподавателя
1. Тема урока
Решение простейших задач на параллельность прямой и плоскости.
2. Определение параллельных прямых
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).
Рис. 1.
3. Теорема о параллельных прямых
Теорема о параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Пояснение к теореме
Дана прямая а, и точка М, не лежащая на ней: (Рис. 2.). Тогда через точку М проходит только одна прямая b, которая параллельная прямой а.
Рис. 2.
4. Лемма
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Пояснение к лемме
Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость в точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость в некоторой точке, назовем ее N (Рис. 3.).
Рис. 3.
5. Теорема о трех параллельных прямых
Теорема о параллельности трех прямых.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Пояснение к теореме.
Даны три прямые а, b, с, такие, что а параллельна с и b параллельна с (Рис. 4.). Теорема утверждает, что прямая а параллельна прямой b.
Рис. 4.
6. Случаи взаимного расположения прямой и плоскости
Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости
Из аксиомы А2 вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости.
1) Прямая а целиком лежит в плоскости α: (Рис. 5.).
Рис. 5.
2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (Рис. 6.).
Рис. 6.
3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α: (Рис. 7.).
Рис. 7.
7. Определение параллельности прямой и плоскости
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
8. Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Пояснение к признаку.
Дана плоскость , прямая а, которая параллельна прямой b, лежащей в плоскости (Рис. 8.). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, этого достаточно, чтобы прямая а была параллельна всей плоскости.
Рис. 8.
9. Утверждение 1
Из данного признака вытекает два утверждения, полезных для решения задач.
Утверждение 1
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Пояснение утверждения
Дана плоскость и прямая а, которая параллельна плоскости (Рис. 9.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость . Проведем через прямую а плоскость . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей и – прямая b будет параллельна прямой а.
Рис. 9.
10. Утверждение 2
Утверждение 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Пояснение утверждения
Есть две параллельные прямые а и b и плоскость . Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости . Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости (Рис. 10.), либо лежит в плоскости (Рис. 11.).
Рис. 10. Рис. 11.
11. Задача 1
Задача 1.
Параллельные прямые а и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости .
Дано: а || b,
Доказать:
Рис. 12.
Доказательство: (Рис. 12.)
Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости . Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости . Так как две точки прямой с принадлежат плоскости , то и вся прямая лежит в плоскости , в силу аксиомы А2.
12. Задача 2
Задача 2.
Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость .
Дано: ABCD – параллелограмм,
Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость .
Рис. 13.
Доказательство: (Рис. 13.)
Обозначим плоскость АВС как . Тогда плоскости и пересекаются по прямой MN. Прямая АВ пересекается с плоскостью , и прямые АВ и CD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD также пересекается с плоскостью . Аналогично, прямая ВCпересекается с плоскостью , и прямые ВС и АD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD также пересекается с плоскостью , что и требовалось доказать.
Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD пересекается с плоскостью в точке Q, а прямая АD пересекается с плоскостью в точке F.
Плоскости и пересекаются по прямой MN, значит все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и АD до их пересечения с прямой MNи получим соответственно точки Q и F (Рис. 14.).
Рис. 14.
13. Задача 3
Задача 3.
Средняя линия трапеции лежит в плоскости , не совпадающей с плоскостью . Пересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью ?
Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия.
Найти: пересекаются ли прямые AD и ВC плоскость .
Рис. 15.
Решение: (Рис. 15.)
Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости . Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD параллельна плоскости .
Аналогично, прямые ВC и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости . Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, ВC параллельна плоскости .
Ответ задачи: нет, не пересекаются.
14. Задача 4
Задача 4.
Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что MN || DKL.
Дано: KLMN – прямоугольник,
Доказать: MN || DKL
Рис. 16.
Доказательство: (Рис. 16.)
Прямые KL и MN параллельны, а прямая KL принадлежит плоскости DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN параллельна плоскости DKL, что и требовалось доказать.
15. Итоги урока
Итак, мы рассмотрели теорию о параллельности прямой и плоскости, применили эту теорию к решению задач. Далее эта теория будет использована при рассмотрении вопроса о параллельности плоскостей.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/povtorenie-teorii-reshenie-prosteyshih-zadach-na-parallelnost-pryamoy-i-ploskosti?seconds=0&chapter_id=210
http://www.youtube.com/watch?v=S1GslPuRRwQ
https://www.youtube.com/watch?v=_GZFhDlQ4sk
http://www.studfiles.ru/html/2706/5/html_kRpS9lhXQw.Tc8m/htmlconvd-1vc3t4_html_m7f53789a.png
http://umnee.org/files/tasks_images/000/004/120/173768.jpg
http://russkiy-gdz.com/f/homework/9103/173733.jpg
http://www.studfiles.ru/html/2706/280/html_HBDMOvOvbx.RU09/htmlconvd-4ffyrD_html_4e0d59c4.jpg
http://www.youtube.com/watch?v=rnXL-hOeifI