10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Комментарии преподавателя

 

1. Тема урока

На этом уроке мы повторим теоретический материал прошлых уроков и решим типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой х, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

Рис. 1

 

3. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

4. Теорема о существовании прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости

Через любую точку М пространства проходит единственная прямая а, перпендикулярная плоскости α.

Рис. 3

5. Задача 1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Рис. 4

Дано: ,

 

 

 

Доказать: 

Доказательство:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР1Q1Q. В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

6. Задача 2

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1.

Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

Рис. 5

Дано:  см

 см

 см

Найти: 

Решение:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ1P1. Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р1Q1. Так как прямые РР1 и QQ1 параллельны, а угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q - прямоугольная трапеция.

Рис. 6

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.

Отрезок Q1A равен отрезку РР1. Найдем QA: QA = QQ1 - АQ1 = QQ1 - РР1 = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

 см.

P1Q1 = РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

7. Задача 3

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 7

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

 

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

 

Рис. 8

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

Ответ: 3 см.

8. Задача 4

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Рис. 4

Дано: ,

 

 

 

Доказать: 

Доказательство:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР1Q1Q. В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

9. Задача 5

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1.

Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

Рис. 5

Дано:  см

 см

 см

Найти: 

Решение:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ1P1. Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р1Q1. Так как прямые РР1 и QQ1 параллельны, а угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q - прямоугольная трапеция.

Рис. 6

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.

Отрезок Q1A равен отрезку РР1. Найдем QA: QA = QQ1 - АQ1 = QQ1 - РР1 = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

 см.

P1Q1 = РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

10. Задача 6.

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 7

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

 

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

 

Рис. 8

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

Ответ: 3 см.

 

11. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две прямые p и q, пересекающиеся в точке О (рис. 1). Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рис. 1

12. Стандартный прием

Пусть нам нужно доказать перпендикулярность двух прямых а и m.

Доказательство можно осуществить следующим образом. Нужно подыскать такую плоскость, которая проходит через прямую m и перпендикулярна прямой а.

Конечно, в каждом случае, в каждой конкретной задаче это делается по-разному. Но, общий прием такой: надо найти две прямые р и q, которые пересекаются и каждая из них перпендикулярна прямой а, и тогда плоскость α, которая проходит через прямые р и q, будет перпендикулярна прямой а.

Тогда получаем: прямая m лежит в плоскости α, плоскость α перпендикулярна прямой а. Так как прямая а перпендикулярна плоскости α, то она перпендикулярна любой прямой из плоскости α, в том числе и нужной прямой m. 

13. Задача 7

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90° (рис. 2). Прямая ВD перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что прямая СD перпендикулярна прямой АС. 

Дано: В ΔАВС  ∠А + ∠В = 90°

 ВD ⊥ АВС

 

Доказать: СD ⊥ АС

Рис. 2

Доказательство:

Так как ∠А + ∠В = 90, то ∠АСВ = 90°.

Итак, прямая АС перпендикулярна прямой ВС, прямая АС перпендикулярна прямой ВD, т.к. ВD перпендикулярна по условию плоскости АВС. Значит, прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся в точке В прямым из плоскости ВСD.

Получаем, что прямая АС перпендикулярна плоскости ВСD(по признаку), а значит, и прямой СD, так как , что и требовалось доказать.

14. Задача 8

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Рис. 3

Дано: АВСD – параллелограмм.

МА = МС, МВ = МD. 

Доказать: ОМ ⊥ АВС 

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АМС. По условию треугольник АМС равнобедренный.

По свойству параллелограмма О - середина АС, т.е. МО – медиана в треугольнике АМС. Медиана в равнобедренном треугольнике является и высотой, получаем, что прямая ОМ перпендикулярна прямой АС.

Рассмотрим треугольник ВМD. По условию треугольник ВМD равнобедренный. Точка О – середина ВD. Значит, МО – медиана, а значит, и высота, т.е. прямая МО перпендикулярна прямой ВD.

Получаем, что прямая МО перпендикулярна двум пересекающимся прямым АС и ВD из плоскости АВС, значит, прямая МО перпендикулярна плоскости АВС (по признаку), что и требовалось доказать.

15. Задача 9.

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 4). Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМО.

Рис. 4

 Дано: АВСD – квадрат.

 АМ ⊥ АВС. 

Доказать: ВD ⊥ АМО. 

Доказательство:

Прямая ВD перпендикулярна прямой АС по свойству квадрата (диагонали квадрата перпендикулярны).

Прямая ВD также перпендикулярна прямой АМ, потому что АМ перпендикулярна плоскости квадрата, а значит, и прямой ВD.

Получаем, что прямая ВD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и АС из плоскости АМО. Следовательно, прямая ВD перпендикулярна плоскости АМО по признаку, что и требовалось доказать.

16. Задача 10.

Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ (рис. 5). Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90°, МВ = m, АВ = n. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата.

Рис. 5

Дано: АВСD – квадрат.

∠МВА = ∠МВС = 90°

МВ = m, АВ = n. 

Найти: МА, МВ, МС, МD 

Решение:

Треугольники МВА и МВС прямоугольные. Катет МВ общий, АВ = ВС (так как стороны квадрата равны). Треугольники МВА и МВС равны (по двум катетам). Значит, и гипотенузы их равны. Найдем их длину по теореме Пифагора:

Прямая МВ перпендикулярна прямой АВ и прямой ВС из плоскости АВС (по условию). Следовательно, прямая МВ перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС. Значит, прямая МВ перпендикулярна прямой ВD. Получаем, что угол МBD – прямой, а значит, треугольник МBD прямоугольный. Найдем гипотенузу МD:

 

Ответ: , , MB = m.

17. Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на перпендикулярность прямой и плоскости. На следующем уроке мы перейдем к теореме о трех перпендикулярах.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/povtorenie-teorii-i-reshenie-prosteyshih-zadach-na-perpendikulyarnost-pryamoy-i-ploskosti

http://www.youtube.com/watch?v=kaqu6u_Unz0

http://www.youtube.com/watch?v=CKlz-Gb9_gQ

http://www.youtube.com/watch?v=Ab37uu1wVQw

http://www.youtube.com/watch?v=WSQBMVKT-wM

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

http://compendium.su/mathematics/geometry10/30.html

http://2.bp.blogspot.com/-RoR1BBqn_Mc/T1TQpjZwoWI/AAAAAAAAA_Q/Ym4X6nvmQYA/s1600/Geom_67.jpg

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/N110/images/geom_10_05.jpg

Файлы