10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.
10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.
Комментарии преподавателя
1. Тема урока
На этом уроке мы введем понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим и докажем важнейшую теорему о трех перпендикулярах.
2. Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, 
.
Рис. 1.
Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.
Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.
Определение. Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозн.: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости.Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).
Таким образом, чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно найти длину перпендикуляра от точки до плоскости.
3. Расстояние между параллельными плоскостями
Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А (рис. 2). Из точки А опустим перпендикуляр ААₒ на плоскость α. Перпендикуляр ААₒ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.
Рис. 2. Расстояние между параллельными плоскостями
Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.
Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВₒ. Прямые ААₒ и ВВₒ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые ААₒ и ВВₒ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки ААₒ и ВВₒ равны.
4. Расстояние между прямой и плоскостью
Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр ААₒ на плоскость α (рис. 3). Длина перпендикуляра ААₒ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.
Обозн.: ААₒ = р(а; α).
Рис. 3. Расстояние между прямой и плоскостью
5. Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Дано:
Доказать:
Рис. 4.
Доказательство:
Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ - наклонная, М – основание наклонной. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной М перпендикулярно проекции НМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна наклонной АМ.
Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая НМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая аперпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и НМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая АМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямойАМ, что и требовалось доказать.
6. Обратная теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ - наклонная. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной Мперпендикулярно наклонной AМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна проекции HМ.
Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая AМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая аперпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и AМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая HМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямойHМ, что и требовалось доказать.
7. Замечание к теореме о трех перпендикулярах
В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой 
, лежащей в плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую а, которая параллельна . Тогда углы между прямыми a, АМ, НМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой а и прямой АМ будет вытекать перпендикулярность прямой а и прямой НМ и наоборот.
Рис. 5.
8. Задача 1
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 
.
а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d.
б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.
Рис. 6.
а) Дано:
Найти:
Решение:
Итак, имеем плоскость α, точку А, (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок АН, который проведен из точки А к плоскости 
, АМ – наклонная.
Мы имеем треугольник АНМ. Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу АМ, нужно катет АН разделить на косинус прилежащего угла НАМ.
Найдем катет НМ.
Ответ: 
б) Дано:
Найти:
Решение:
АН перпендикуляр, АМ – наклонная, угол между ними , известна длина наклонной АМ. Нужно найти длину перпендикуляра АН и длину проекции НМ.
Задача снова свелась к решению прямоугольного треугольника НАМ. Найдем катет АН.
Найдем катет HМ.
Ответ: 
9. Задача 2
Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника.
а) докажите, что треугольник СВD прямоугольный.
б) найдите ВD, если ВС = а, DС = b.
Рис. 7.
Дано: ∆АСВ = 90°, АD ⊥ АВС.
ВС = а, DС = b.
Доказать: ∆CBD – прямоугольный.
Найти: ВD
Решение:
а) Треугольник АВС прямоугольный, угол при вершине С прямой.
АD перпендикуляр к плоскости АВС. Требуется доказать, что треугольник СВD прямоугольный. Для наклонной DС отрезок АС является проекцией, потому что DA перпендикуляр ко всей плоскости АВС. По условию прямая ВС, лежащая в плоскости треугольника, перпендикулярна проекции наклонной АС, значит, по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной CD. То есть ВС ⊥ CD, а значит ∆ВСDпрямоугольный.
б) Найдем гипотенузу ВD из прямоугольного треугольника СВD с помощью теоремы Пифагора.
Ответ: 
10. Задача 3
Отрезок SО - перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD, где точка О – центр квадрата.
Доказать: ВD ⊥ SC
Рис. 8.
Доказательство:
Первый способ.
Имеем квадрат, центр квадрата точка О, SО - перпендикуляр. Значит, для наклонной SC отрезок ОС есть проекция.
Прямая ВD перпендикулярна прямой ОС, которая является проекцией наклонной SC, значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямая ВD перпендикулярна наклонной SC.
Второй способ.
Прямая SО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ВD, лежащей в ней.
Прямая ВD перпендикулярна SО и прямая ВD перпендикулярна прямой АС по свойству квадрата.
Получаем, что прямая ВD перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости SОС, значит, она перпендикулярна ко всей плоскости SОС, а значит, и к прямой SC, лежащей в этой плоскости.
10. Итоги урока
Мы рассмотрели расстояния от точки до плоскости, доказали и обсудили теорему о трех перпендикулярах. На следующем уроке мы рассмотрим угол между прямой и плоскостью.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti-teorema-o-treh-perpendikulyarah
http://www.youtube.com/watch?v=bkP3awvh_RA
http://www.youtube.com/watch?v=k3BJVZlg0Y8
http://www.youtube.com/watch?v=daXL5yWm8JE
http://www.sliderpoint.org/spdic-10-0.html
http://www.youtube.com/watch?v=V8LolGyYV5w
http://lusana.ru/files/5081/presentation.zip
http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/raspolozh8.jpg
http://5klass.net/geometrija-11-klass/Teorema-o-trjokh-perpendikuljarakh/029-Perpendikuljar-k-ploskosti-treugolnika.html
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/perpendikuliarnost-priamykh-i-ploskostei-10441/perpendikuliar-i-naklonnye-ugol-mezhdu-priamoi-i-ploskostiu-9254/re-78e6604d-2d01-43c4-886e-84791468c688
http://5klass.net/geometrija-10-klass/Uslovie-perpendikuljarnosti-prjamoj-i-ploskosti/019-Perpendikuljar-i-naklonnaja.html