10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

Комментарии преподавателя

1. Тема урока

На этом уроке мы введем понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим и докажем важнейшую теорему о трех перпендикулярах.

2. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Рис. 1.

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. 

Определение. Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозн.: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости.Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Таким образом, чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно найти длину перпендикуляра от точки до плоскости.

3. Расстояние между параллельными плоскостями

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А (рис. 2). Из точки А опустим перпендикуляр ААₒ на плоскость α. Перпендикуляр ААₒ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

Рис. 2. Расстояние между параллельными плоскостями

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

 Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВₒ. Прямые  ААₒ и ВВₒ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые  ААₒ и ВВₒ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки ААₒ и ВВₒ равны.

4. Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр ААₒ на плоскость α (рис. 3). Длина перпендикуляра ААₒ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Обозн.: ААₒ = р(а; α).

Рис. 3. Расстояние между прямой и плоскостью

5. Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано:

 

 

 

Доказать:

 

Рис. 4.

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ - наклонная, М – основание наклонной. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной М перпендикулярно проекции НМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна наклонной АМ.

Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая НМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая аперпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и НМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая АМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямойАМ, что и требовалось доказать.

6. Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Дано:

 

 

 

Доказать:

 

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ - наклонная. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной Мперпендикулярно наклонной AМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна проекции HМ.

Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая AМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая аперпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и AМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая HМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямойHМ, что и требовалось доказать.

7. Замечание к теореме о трех перпендикулярах

В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой , лежащей в плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую а, которая параллельна . Тогда углы между прямыми a, АМ, НМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой а и прямой АМ будет вытекать перпендикулярность прямой а и прямой НМ и наоборот.

Рис. 5.

8. Задача 1

Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен . 

а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d.

б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

Рис. 6.

а) Дано:

 

 

 

Найти:

 

Решение:

Итак, имеем плоскость α, точку А,  (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок АН, который проведен из точки А к плоскости , АМ – наклонная.

Мы имеем треугольник АНМ. Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу АМ, нужно катет АН разделить на косинус прилежащего угла НАМ.

Найдем катет НМ.

Ответ: 

б) Дано:

 

 

 

Найти:

 

Решение:

АН перпендикуляр, АМ – наклонная, угол между ними , известна длина наклонной АМ. Нужно найти длину перпендикуляра АН и длину проекции НМ. 

Задача снова свелась к решению прямоугольного треугольника НАМ. Найдем катет АН.

Найдем катет HМ.

Ответ: 

9. Задача 2

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. 

а) докажите, что треугольник СВD прямоугольный.

б) найдите ВD, если ВС = а, DС = b. 

Рис. 7.

Дано: ∆АСВ = 90°, АD ⊥ АВС.

ВС = а, DС = b. 

Доказать: ∆CBD – прямоугольный.

Найти: ВD

Решение:

а) Треугольник АВС прямоугольный, угол при вершине С прямой.

АD перпендикуляр к плоскости АВС. Требуется доказать, что треугольник СВD прямоугольный. Для наклонной DС отрезок АС является проекцией, потому что DA перпендикуляр ко всей плоскости АВС. По условию прямая ВС, лежащая в плоскости треугольника, перпендикулярна проекции наклонной АС, значит, по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной CD. То есть ВС ⊥ CD, а значит ∆ВСDпрямоугольный.

б) Найдем гипотенузу ВD из прямоугольного треугольника СВD с помощью теоремы Пифагора.

Ответ: 

10. Задача 3

Отрезок SО - перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD, где точка О – центр квадрата.

Доказать: ВD ⊥ SC

Рис. 8.

Доказательство:

Первый способ.

Имеем квадрат, центр квадрата точка О, SО - перпендикуляр. Значит, для наклонной SC отрезок ОС есть проекция.

Прямая ВD перпендикулярна прямой ОС, которая является проекцией наклонной SC, значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямая ВD перпендикулярна наклонной SC. 

Второй способ.

Прямая SО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ВD, лежащей в ней.

Прямая ВD перпендикулярна SО и прямая ВD перпендикулярна прямой АС по свойству квадрата.

Получаем, что прямая ВD перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости SОС, значит, она перпендикулярна ко всей плоскости SОС, а значит, и к прямой SC, лежащей в этой плоскости.

10. Итоги урока

Мы рассмотрели расстояния от точки до плоскости, доказали и обсудили теорему о трех перпендикулярах. На следующем уроке мы рассмотрим угол между прямой и плоскостью.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti-teorema-o-treh-perpendikulyarah

http://www.youtube.com/watch?v=bkP3awvh_RA

http://www.youtube.com/watch?v=k3BJVZlg0Y8

http://www.youtube.com/watch?v=daXL5yWm8JE

http://www.sliderpoint.org/spdic-10-0.html

http://www.youtube.com/watch?v=V8LolGyYV5w

http://lusana.ru/files/5081/presentation.zip

http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/raspolozh8.jpg

http://5klass.net/geometrija-11-klass/Teorema-o-trjokh-perpendikuljarakh/029-Perpendikuljar-k-ploskosti-treugolnika.html

http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/perpendikuliarnost-priamykh-i-ploskostei-10441/perpendikuliar-i-naklonnye-ugol-mezhdu-priamoi-i-ploskostiu-9254/re-78e6604d-2d01-43c4-886e-84791468c688

http://5klass.net/geometrija-10-klass/Uslovie-perpendikuljarnosti-prjamoj-i-ploskosti/019-Perpendikuljar-i-naklonnaja.html

Файлы