10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

Комментарии преподавателя

1. Тема урока

На этом уроке мы введем понятие угла между прямой и плоскостью и решим задачи с участием этого понятия.

2. Напоминание: перпендикуляр, наклонная, проекция

Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Рис. 1.

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. 

Рис. 2.

Проекция точки М на плоскость α есть основание перпендикуляра ММ1 – точка М1 (рис. 2). М1 = прα М.

3. Проекция фигур на плоскость

Любая фигура, в том числе фигура F (рис. 2), состоит из точек. Если мы все точки спроектируем на плоскость α, то получим фигуру F1 – проекцию фигуры F на плоскость α. F1 = прα F.

4. Утверждение о проекции прямой на плоскость, не перпендикулярной плоскости

Проекцией прямой а на не перпендикулярную к ней плоскость α является прямая.

Рис. 3.

Доказательство:

Имеем плоскость α. Пусть прямая а пересекает плоскость α.

Нам нужно доказать, что проекцией этой прямой является некоторая прямая, которая лежит в плоскости.

Возьмем произвольную точку М на прямой а и опустим перпендикуляр МН, тогда Н – это проекция точки М на плоскость. Через пересекающиеся прямые МН и а проходит единственная плоскость β.

Пусть плоскость β и плоскость α пересекаются по некоторой прямой а1.

Возьмем произвольную точку М1 на прямой а и опустим перпендикуляр М1Н1 на прямую а1, т.е. построим проекцию Н1 точке М1.

Прямые М1Н1 и МН перпендикулярны одной прямой а, значит прямые М1Н1 и МН – параллельны. Так как прямая МН перпендикулярна к плоскости α, то прямая М1Н1 тоже перпендикулярна плоскости α. Таким образом,Н1 – это проекция точки М1 на плоскость α.

То есть мы доказали, что любая точка М1 прямой а проектируется в точку, которая лежит на прямой а1.

И обратно, если мы возьмем какую-то точку Н1 на прямой а1, то она является проекцией некоторой точки М1 прямой а. 

Итак, действительно проекцией прямой а на не перпендикулярную к ней плоскость является прямая, что и требовалось доказать.

5. Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис. 4.

Рассмотрим плоскость α и прямую АН, НМ - перпендикуляр, АМ - проекция прямой. Угол между прямой АН и плоскостью α – это угол между прямой АН и ее проекцией АМ на плоскости, т.е. это угол МАН = φ0. Обозн.: 

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.

6. Задача 1

Прямая МА проходит через точку А на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0 ≠  90°. Докажите, что φ0 является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

Рис. 5.

Дано: 

Доказать:

Доказательство:

Проведем перпендикуляр МН к плоскости α. АН – проекция прямой АМ (рис. 5). Через точку А проведем произвольную прямую р. Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией АН,обозначим его за φ0. Нужно доказать, что угол между прямой АМ и ее проекцией АН меньше, чем угол между прямой АМ и прямой р.

Опустим перпендикуляр МN на прямую р. Рассмотрим два прямоугольных треугольника МАН, МАN. Они имеют одну и ту же гипотенузу АМ.

Рассмотрим синусы углов MAH и MAN:

.

Рассмотрим следующее отношение:

Длина перпендикуляра MH меньше длины наклонной MN, значит  (так как углы  – острые). Задача доказана.

7. Задача 2

Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d (рис. 6).

Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?

Рис. 6.

Решение:

Имеем плоскость α, наклонную АМ. С точки А опустим перпендикуляр АН на плоскость α, МН – проекция наклонной АМ. Тогда угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, то есть угол АМН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНM. По условию АМ = d. Находим МН:

а) 

б)

в)

Ответ: а) , б) , в) .

8. Задача 3

Из точки А к плоскости α проведены две равные наклонные АМ и АN.

Докажите, что равны:

- проекции наклонных на плоскость α;

- углы наклона прямых АМ и АN к плоскости α.

Дано: AM = AN

Доказать:

MH = НN, (где )

Рис. 7.

Доказательство

Дана плоскость α, точка А. Из точки А проведены две наклонные АМ и АN, причем АМ = АN. Проведем перпендикуляр АН. Тогда МН – это проекция наклонной АМ, НN– проекция наклонной АNна плоскость α. Тогда 

Рассмотрим треугольники AHM и AHN. Они прямоугольные, так как прямая АН перпендикулярна плоскости  α. По условию, AM = AN, а катет АН – общий. Тогда треугольники AHM и AHN равны по общему катету и равным гипотенузам. Из равенства треугольников следует равенство катетов МН и NН, а также равенство углов АМН и АNH, что и требовалось доказать.

9. Задача 4

Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к этой плоскости (рис. 8). Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Дано: 

Найти: ВС

Рис. 8.

Решение:

Точка А удалена от плоскости γ на расстояние, равное d. Значит, если АН перпендикуляр к плоскости γ, то АН = d. Из точки А проведены две наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Значит, ∠АВН = 30°, ∠АСН=30°.

Прямоугольные треугольники АВН и АНС равны, потому что у них общий катет АН и равные углы ∠АВН = ∠АСН. Из равенства треугольников заключаем равенство проекций: ВН = СН.

Найдем проекции:

Рассмотрим треугольник ВНС. Он равнобедренный, так как АВ = АС. Найдем ВС по теореме косинусов:

Ответ: ВС = 3d.

10. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели угол между прямой и плоскостью и решили задачи по теме.

На следующем уроке мы повторим теорию и решим некоторые задачи.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu

http://www.youtube.com/watch?v=vGOd52-fSWY

http://www.youtube.com/watch?v=1mr43AALqho

http://www.youtube.com/watch?v=ZPmaPH0KfdM

http://www.youtube.com/watch?v=fYBOzQjtwwM

https://www.youtube.com/watch?v=LGWoNPBVfVM

http://mypresentation.ru/presentation/ugol_mezhdu_pryamymi_v_prostranstve

http://repetitor.ru.com/matematika/ege-po-matematike/profilnyj-uroven/zadanie-16-c2-ugly-i-rasstoyaniya-v-prostranstve/17-ugol-mezhdu-prya-moj-i-ploskostyu.html

http://cs605621.vk.me/v605621104/6d02/h6MaXQ6XcEs.jpg

http://cs621424.vk.me/v621424078/90e7/emYN1NqPkRY.jpg

http://ppt4web.ru/geometrija/perpendikuljarnost-prjamykh-i-ploskostejj.html

Файлы