10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

Комментарии преподавателя

1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой т, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

Рис. 1

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

3. Теорема (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перепедикуляная этой плоскости.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перепендикулярна плоскости (рис. 3). Тогда, по теореме, прямая а1 перпендикулярна плоскости.

Рис. 3

4. Теорема (о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости)

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая a1 перпендикулярна плоскости (рис. 3). По теореме, прямая а параллельна прямой a1.

5. Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию АВС (рис. 4). Но прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 – параллельны. Значит, прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 перпендикулярны плоскости АВС.

Рис. 4

6. Теорема (о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной прямой)

Через любую точку М пространства проходит единственная плоскость γ, перпендикулярная данной прямой а (рис. 5).

Рис. 5

7. Важный частный случай теоремы

Пусть дан отрезок АВ (рис. 6). М – середина АВ. Согласно теореме, через точку М проходит единственная плоскость γ, которая перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость γ есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка АВ.

Пусть точка N лежит в плоскости γ. Тогда NА = NВ.

Пусть точка К равноудалена от концов отрезка АВ, то есть АК = ВК. Тогда точка К принадлежит плоскости γ.

Рис. 6

8. Теорема (о существовании и единственности прямой, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной плоскости)

Через любую точку М пространства проходит прямая р, перпендикулярная плоскости α, и притом только одна (рис. 7).

Рис. 7

9. Важный частный случай теоремы

Дан треугольник АВС. Точка О – центр описанной окружности, значит, ОА = ОВ = ОС = R, R – радиус окружности. Проведем перпендикуляр ОМ = р к плоскости АВС. Тогда любая точка перпендикуляра равноудалена от вершин треугольника АВС, то есть МА = МВ = МС = l.

Рис. 8

МО – перпендикуляр к плоскости АВС, а значит прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС – прямоугольные. В этих треугольниках катет МО – общий, а катеты АО, ВО, СО – равны. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС равны по двум катетам. А значит, МА = МВ = МС, что мы и хотели показать.

10. Задача 1а

Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС (рис. 9). Точка D равноудалена от концов отрезка ВС, точка А также равноудалена от концов отрезка ВС.

а) Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.

Дано: 

Доказать: 

Рис. 9

Доказательство:

Пусть М – середина отрезка ВС. Треугольник АВС – равнобедренный, так как АВ = АС. Тогда медиана АМ является и высотой, то есть 

Треугольник DВС – равнобедренный, так как DВ = DС. Тогда медиана DМ является и высотой, то есть 

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым DM и AM из плоскости DMA, а значит, прямая ВС перпендикулярна прямой DA, которая лежит в плоскости DMA, что и требовалось доказать.

11. Задача 1б

б) Построить общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

Рис. 10

Прямая ВС лежит в плоскости АВС. Прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, прямые ВС и АD скрещиваются.

Проведем МН перпендикулярно АD (рис. 10). Но прямая ВС перпендикулярна плоскости АDН, а значит, и прямой МН, лежащей в плоскости АDН. Значит, МН – общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

12. Задача 2

Плоскости α и β пересекаются по прямой а (рис. 11). Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС ⊥ а.

Дано: 

Доказать: 

Доказательство:

Прямая МА перпендикулярна плоскости α. Прямая а лежит в плоскости α. Значит, прямая МА перпендикулярна прямой а.

Прямая МB перпендикулярна плоскости β. Прямая а лежит в плоскости β. Значит, прямая МB перпендикулярна прямой а.

Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости АВМ. Прямая СМ лежит в плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой МС, что и требовалось доказать.

Рис. 11

13. Итоги урока

Мы повторили теорию и решили типовые задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости».

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/povtorenie-teorii-i-reshenie-zadach-po-teme-perpendikulyarnost-pryamoy-i-ploskosti

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/povtorenie-teorii-i-reshenie-zadach-po-teme-perpendikulyar-i-naklonnye-ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/povtorenie-teorii-i-reshenie-zadach-po-teme-dvugrannyy-ugol-perpendikulyarnost-ploskostey

http://www.youtube.com/watch?v=ihMuU3oSm2E

http://www.youtube.com/watch?v=qqnDb3_nxTY

http://www.youtube.com/watch?v=hkS_EsOlW3I

http://www.youtube.com/watch?v=0AvtilInw0k

https://www.youtube.com/watch?v=XraPpfJs5vE

http://www.uchportal.ru/load/27-1-0-40792

Файлы