10 класс. Геометрия. Многогранники. Пирамида. Задачи на пирамиду.

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

2. Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник А1А2...Аn, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А1, А2, А3, … Аn. Получим n треугольников: А1А2Р, А2А3Р и так далее.

Определение. Многогранник РА1А2…Аn, составленный из n-угольника А1А2...Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …РАnАn-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

3. Пример пирамиды

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

РА – боковое ребро.

АВ – ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

4. Площадь поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

Sполн = Sбок + Sосн

5. Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание – правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается hа.

6. Свойства правильной пирамиды

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано: РАВСD – правильная четырехугольная пирамида,

АВСD – квадрат,

РО – высота пирамиды.

Доказать:

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство.

РО – высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО, лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD – прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD. Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО – общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС.  Значит, треугольники АВР и ВCР – равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

7. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО – высота.

Доказать: . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Sбок = 3SРАВ

Теорема доказана.

8. Задача 1

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,

АВСD – квадрат,

r = 3 м,

РО – высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти:  Sбок . См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение.

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда,  м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

 Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то  (м).

Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.

РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

 (м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ: 60 м2.

9. Задача 2

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен  м. Площадь боковой поверхности равна 18 м2. Найдите длину апофемы.

Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R =  м,

Sбок = 18 м2.

Найти: . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

 м.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

 м.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где hа – апофема пирамиды. Тогда:

 

Ответ: 4 м.

10. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

ИСТОЧИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/piramida-pravilnaya-piramida

https://www.youtube.com/watch?v=0GlrxzWycAk

http://zazdoc.ru/docs/2800/index-2129972.html

http://fmklass.ru/math.php?id=48626399be5d8

http://ppt4web.ru/mkhk/piramida1.html

http://pandia.ru/text/78/287/91594.php

http://matematikalegko.ru/piramidi/pravilnye-piramidy-ploshhad-poverxnosti.html

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

Файлы