10 класс. Геометрия. Многогранники. Пирамида. Задачи на пирамиду.
10 класс. Геометрия. Многогранники. Пирамида. Задачи на пирамиду.
Комментарии преподавателя
1. Тема и цели урока
На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.
2. Определение пирамиды
Рассмотрим многоугольник А1А2...Аn, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А1, А2, А3, … Аn. Получим n треугольников: А1А2Р, А2А3Р и так далее.
Определение. Многогранник РА1А2…Аn, составленный из n-угольника А1А2...Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …РАnАn-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.
Рис. 1
3. Пример пирамиды
Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).
Р – вершина пирамиды.
ABCD – основание пирамиды.
РА – боковое ребро.
АВ – ребро основания.
Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.
Рис. 2
4. Площадь поверхности пирамиды
Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:
Sполн = Sбок + Sосн
5. Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если:
- ее основание – правильный многоугольник;
- отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).
Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.
Рис. 3
Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается hа.
6. Свойства правильной пирамиды
1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;
2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.
Дано: РАВСD – правильная четырехугольная пирамида,
АВСD – квадрат,
РО – высота пирамиды.
Доказать:
1. РА = РВ = РС = РD
2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.
Рис. 4
Доказательство.
РО – высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО, лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD – прямоугольные.
Рассмотрим квадрат АВСD. Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.
Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО – общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.
Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Значит, треугольники АВР и ВCР – равнобедренные и равны по трем сторонам.
Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.
7. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.
Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО – высота.
Доказать: . См. Рис. 5.
Рис. 5
Доказательство.
РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = 3SРАВ
Теорема доказана.
8. Задача 1
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,
АВСD – квадрат,
r = 3 м,
РО – высота пирамиды,
РО = 4 м.
Найти: Sбок . См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение.
По доказанной теореме, .
Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то (м).
Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.
РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.
(м).
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ: 60 м2.
9. Задача 2
Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м2. Найдите длину апофемы.
Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,
АВ = ВС = СА,
R = м,
Sбок = 18 м2.
Найти: . См. Рис. 7.
Рис. 7
Решение.
В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.
м.
Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.
м.
По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где hа – апофема пирамиды. Тогда:
Ответ: 4 м.
10. Итоги урока
Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.
ИСТОЧИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/piramida-pravilnaya-piramida
https://www.youtube.com/watch?v=0GlrxzWycAk
http://zazdoc.ru/docs/2800/index-2129972.html
http://fmklass.ru/math.php?id=48626399be5d8
http://ppt4web.ru/mkhk/piramida1.html
http://pandia.ru/text/78/287/91594.php
http://matematikalegko.ru/piramidi/pravilnye-piramidy-ploshhad-poverxnosti.html
http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/