10 класс. Геометрия. Многогранники. Понятие симметрии в пространстве.

Комментарии преподавателя

 1. Введение, условие задачи

Определение.

Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если прямая а проходит через плоскость  в точке, не принадлежащей прямой b, то прямые а и b – скрещивающиеся.

2. Некоторые факты о скрещивающихся прямых

Известный факт.

В пирамиде противоположные ребра являются скрещивающимися прямыми.

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми а и b, необходимо из произвольной точки пространства провести прямые  и , угол между прямыми  и  будет углом между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, следуем алгоритму:

Найти плоскость  Получить проекцию прямой а на найденную плоскость – получить точку А (прямая спроектируется в точку, т.к. плоскость ей перпендикулярна) Спроектировать прямую b на плоскость , получить прямую  Переходим к планиметрической задаче – найти расстояние от точки до прямой:  Опускаем перпендикуляр из точки А на прямую b’ – AB, он и будет искомым расстоянием.

Чтобы найти месторасположение расстояния (перпендикуляра) между исходными скрещивающимися прямыми:

Из точки В проводим прямую, параллельную прямой а Из полученной точки Р опускаем перпендикуляр на прямую а – получаем точку Q Отрезок PQ и есть искомое расстояние Отрезок PQ – единственный общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым такой, что его концы расположены на скрещивающихся прямых.

3. Решение задачи по теме "Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми в тетраэдре"

Задача 1

В правильном тетраэдре все ребра равны 1 см. Найти угол и расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.

Решение:

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания.

Пусть  – середина АВ, М – середина DC.  как апофема грани;  как медиана и высота треугольника АВС. Так, . Прямая АВ проектируется на плоскость  в точку . Отметим, что плоскость  является плоскостью симметрии данной пирамиды и при симметрии относительно этой плоскости пирамида переходит сама в себя.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 "Правильный тетраэдр"

Прямая DС принадлежит плоскости , поэтому она проектируется сама в себя.

Требуется найти расстояние от точки  до прямой .

Рассмотрим треугольник , в нем  и  – апофемы граней ABD и АВС правильного тетраэдра, отсюда треугольник  равнобедренный. Медиана  треугольника будет одновременно высотой (по свойству равнобедренного треугольника), это и будет искомое расстояние.

Апофема данной пирамиды является высотой в равностороннем треугольнике, например треугольнике АВС, она легко находится из прямоугольного треугольника :

Вернемся к треугольнику . Найдем высоту  из прямоугольного треугольника . В нем катет ; гипотенуза . По теореме Пифагора:

В данной задаче легко найти угол между скрещивающимися прямыми. Одна из них перпендикулярна плоскости , значит перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, а вторая скрещивающаяся прямая как раз лежит в этой плоскости. Вывод: рассматриваемые скрещивающиеся прямые перпендикулярны.

Перпендикулярность данных скрещивающихся прямых можно доказать иначе: пусть точка О – основание высоты DO пирамиды. СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах).

Итак, была рассмотрена обобщенная задача о правильном тетраэдре, подобная задачам из ЕГЭ, кроме того, мы вспомнили важные геометрические факты о скрещивающихся прямых и показали их практическое применение.

4. Правильная призма и прямой параллелепипед, определение, свойства

Правильная треугольная призма:

Рис. 1. Правильная треугольная призма

-данная призма прямая – боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований;

-в основаниях лежат правильные треугольники.

5. Задача о вершинах и ребрах призмы

Задача 1

Укажите число плоскостей симметрии у правильной треугольной призмы.

Ответ: 4

Решение:

Пусть  и М – середины ребер  и АВ соответственно (рисунок 1). Вершине  соответствует плоскость симметрии . данная плоскость является плоскостью симметрии потому что ребро АВ перпендикулярно МС по свойствам правильного треугольника и перпендикулярно  по свойствам прямой призмы. Значит ребро АВ перпендикулярно плоскости . аналогично ребро  перпендикулярно той же плоскости. Так, при выполнении симметрии точка А перейдет в точку В и наоборот; точка  перейдет в точку  и наоборот; точки  и С останутся без изменений. То есть призма переходит сама в себя.

Мы рассмотрели плоскость симметрии относительно вершины , таких вершин три – значит три плоскости симметрии. Четвертая плоскость симметрии проходит через середины боковых ребер (рисунок 2).

Рис. 2. Плоскость симметрии правильной треугольной призмы

Других плоскостей симметрии рассматриваемая призма не имеет, т. к. наличие плоскостей симметрии связано с количеством осей симметрии в основаниях и боковых гранях фигуры.

Прямоугольный параллелепипед:

Определение.

Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник. Рис. 3.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед

-все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками;

-все диагонали равны между собой: ;

-квадрат диагонали равен сумме квадратов всех измерений: ;

-точка О пересечения диагоналей делит их пополам.

Задача 2

Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно трем.

Решение: пусть задана n-угольная призма. Количество вершин призмы равно удвоенному количеству вершин основания, то есть 2n, а такое число кратно двум при любом n – мы доказали, что число вершин любой призмы четно.

Число ребер призмы состоит из ребер оснований и боковых ребер. Основания содержат 2n ребер и еще n ребер – боковые ребра. Всего призма содержит 3n ребер, что кратно трем при любом n – мы доказали, что число ребер любой призмы кратно трем.

6. Задачи на куб

Напомним, что куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, все его грани – это квадраты.

Задача 3

d – диагональ куба. Найти площадь полной поверхности куба.

Решение:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Пусть ребро куба равно , тогда по свойству прямоугольного параллелепипеда: 

 – это площадь одной грани, куб состоит из шести одинаковых граней, имеем площадь полной поверхности:

Задача 4

В кубе  найти угол между скрещивающимися прямыми  и BD.

Решение:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Проведем прямую , она параллельна прямой BD. Значит искомый угол – это угол . Он равен , так как треугольник  равносторонний – его стороны равны как диагонали равных квадратов.

7. Правильная пирамида, определение, свойства, задача

Определение.

Рис. 6. Правильная четырехугольная пирамида

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника (рисунок 6).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

Определение.

Апофемой называется высота боковой грани пирамиды.

Задача 5

В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания и высота равны 2. Найти расстояние от центра основания до боковой грани.

Решение:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5

Пусть задана пирамида с основанием ABCD и вершиной S. Из условия ABCD – квадрат, пусть О – точка пересечения его диагоналей, тогда SO – высота пирамиды. . Требуется найти расстояния от точки О до плоскости CSD. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра опущенного из заданной точки на плоскость.

Пусть точка М – середина DС. Опустим перпендикуляр ОК на апофему SM. Докажем, что построенный таким образом отрезок ОК перпендикулярен всей плоскости CSD. Поскольку CD перпендикулярно всей плоскости MOS, то ОK⊥CD. Так, ОК есть перпендикуляр к плоскости CDS, его и требуется найти.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MOS. В нем  как средняя линия треугольника DBC. Имеем . SO по условию равно 2. Найдем гипотенузу MS по теореме Пифагора: .

Найдем площадь рассматриваемого треугольника двумя способами:

.

8. Задача на прямую призму

Задача 6

Боковое ребро прямой призмы  равно единице. . , М – середина . Найти .

Решение:

Для наглядности произведем сечение призмы заданной плоскостью ВСМ. Для этого проведем MN параллельно , полученная фигура  и будет искомым сечением (рисунок 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 7

Чтобы найти расстояние от точки  до плоскости ВСМ, нужно опустить из этой точки перпендикуляр к плоскости. Опустим перпендикуляр  к прямой СМ и докажем, что он является перпендикуляром ко всей плоскости ВСМ.

Из условия: ; , отсюда ., т. к. .

Так,  перпендикулярно двум прямым из плоскости сечения ВСМ: ВС и СМ, эти прямые пересекаются, отсюда  перпендикулярно всей плоскости сечения, значит  – искомое расстояние от точки до плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . в нем  по условию, . Найдем гипотенузу СМ по теореме Пифагора:

.

Запишем площадь треугольника двумя способами:

.

Итак, мы рассмотрели наиболее распространенные задачи на многогранники, уделили внимание пирамиде, призме, прямоугольному параллелепипеду. Также мы вспомнили свойства основных многогранников.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/pravilnyy-tetraedr-ugol-i-rasstoyanie-mezhdu-protivolezhaschimi-ryobrami

http://www.youtube.com/watch?v=w5tKWWMIynE

http://www.youtube.com/watch?v=ub5JfhHQjr4

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/reshenie-zadach-po-teme-mnogogranniki

http://www.youtube.com/watch?v=HAhCVBtzpCE

http://www.youtube.com/watch?v=KBhvN5F2ARI

http://mateshka.ru/matematika/pravilnie-mnogogranniki.html

http://900igr.net/fotografii/geometrija/Kaskady-mnogogrannikov/002-Kub-i-oktaedr.html

http://mo-mfi73.ucoz.ru/_ld/0/76_Z8O.doc

Файлы