10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.

Комментарии преподавателя

Понятие вектора, основные связанные понятия

С понятием вектора на плоскости мы уже сталкивались. Мы говорили, что есть такие величины, для которых важно не только численное значение, но и направление, например, сила, скорость и т. д. Такие величины мы называли векторными или просто векторами. В математике вектор изображается в виде направленного отрезка. То есть, если задан отрезок  и сказано, что точка  – его начало, а  – конец, то говорят, что задан вектор  или вектор :

Рис. 1. Вектор 

Определение

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.

Теперь введем второй вектор , обозначим его как вектор :

Рис. 2. Коллинеарные векторы  и 

Если прямые  и  параллельны (или совпадают), то векторы  и  коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены:  (рис. 2) или сонаправлены ().

Определение

Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.

Имеем вектор  и вектор :

Рис. 3. Равные векторы

Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны: 

Существует также нулевой вектор (), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.

Проводя аналогию с числами: мы знали число  и противоположное ему число , это были такие числа, сумма которых равна нулю:

Аналогичное понятие существует и для векторов (рис. 4).

Рис. 4. Противоположные векторы

Задана точка  и два вектора:  и . Эти векторы имеют одинаковую длину (), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:

Кроме того:

С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.

Перейдем к векторам в пространстве. Рассмотрим задачу.

Векторы в прямоугольном параллелепипеде, решение задачи

Задача 1

Измерения прямоугольного параллелепипеда  известны:. найдите длины векторов: , , , , , 

Рассмотрим чертеж (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный параллелепипед

Напомним основные важные факты о прямоугольном параллелепипеде:

1. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания – параллелепипед прямой ();

2.  Боковые грани прямого параллелепипеда прямоугольники, в основании может лежать параллелограмм;

3.  Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным ( – прямоугольник);

4.  Прямоугольный параллелепипед полностью задается тремя измерениями: ширина (), длина (), высота ().

Итак, найдем длину вектора . Он равен векторам  и равен высоте параллелепипеда, которая задана по условию: 12 см. . Чтобы решить данную задачу, нужно понимать, какие векторы называются равными.

Вектор : отрезок  имеет такую же длину, как отрезок : .

Вектор : отрезок  имеет такую же длину, как отрезок : .

Вектор : отрезок  – это диагональ боковой грани  параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника  с катетами  и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: ; .

Вектор : отрезок  – это диагональ основания  параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника  с катетами  и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: ; 

Вектор : отрезок  – это диагональ параллелепипеда. Ее длина соответствует квадратному корню из суммы квадратов всех измерений параллелепипеда: ; .

Векторы в тетраэдре, решение задачи

Задача 2

Задан тетраэдр  с вершиной  и основанием . Точка  – середина ребра , точка  – середина ребра , точка  – середина ребра , точка  – середина ребра . Обозначены векторы , , , ,  и . Выпишите все пары равных векторов из обозначенных на рисунке. Определите вид четырехугольника .

Рассмотрим чертеж (рис. 6):

Рис. 6. Тетраэдр

Для начала рассмотрим четырехугольник  без учета векторов. Отметим, что  и  как средняя линия треугольника . Аналогично  и  как средняя линия треугольника . Имеем:

по свойству транзитивности.

Так, в четырехугольнике  две противоположные стороны параллельны и равны, нам известен соответствующий признак: если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник – параллелограмм. Имеем:  – параллелограмм.

Теперь мы можем заключить равенство и параллельность отрезков  и , причем как сторон параллелограмма, так и средних линий для треугольников  и  соответственно.

Перейдем к равенству векторов:

 и , т. к. противоположные стороны параллелограмма принадлежат параллельным прямым (векторы коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине.

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (точка  – середина ребра ).

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны), противонаправлены и длины их равны (точка  – середина ребра ).

          Итак, мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве, рассмотрели равенство векторов и длины векторов в наиболее распространенных геометрических фигурах – прямоугольном параллелепипеде и тетраэдре.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/ponyatie-vektora-ravenstvo-vektorov

http://www.youtube.com/watch?v=ICwchGItv_A

http://www.youtube.com/watch?v=bYEnByZUm04

http://www.youtube.com/watch?v=KYaz65dkg2c

http://v.5klass.net/zip/57bddfe89e626d9d10ec396f887885ec.zip

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

http://www.bookle.ru/cover/223895.jpg

Файлы