10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.
10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.
Комментарии преподавателя
1. Введение, понятие компланарности векторов
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Рассмотрим векторы 
и 
: рис. 1
Рис. 1. Векторы и
Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам: рис. 2, 3.
Рис. 2. Векторы на плоскости
2. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным
Рис. 3. Разложение вектора через два неколлинеарных
Данный факт легко доказывается. Пусть 
. Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор 
, коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор 
, коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:
Напомним, что коллинеарными называются векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.
3. Теорема о компланарных векторах, сложение векторов в пространстве
Если вектор 
можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то вектора 
и компланарны.
Рис. 4. Сложение векторов в пространстве
Рассмотрим три вектора и в пространстве. На плоскости мы строили параллелограмм на двух заданных векторах. В пространстве же мы можем построить параллелепипед на трех заданных векторах. Найдем сумму этих векторов (рис. 4).
Из точки К откладываем заданные векторы. Достраиваем параллелепипед. Суммой трех заданных векторов будет диагональ параллелепипеда: 
Данный факт легко доказать с помощью правила многоугольника. Согласно свойствам параллелепипеда, имеем пары равных векторов: 
, 
. Так, получаем: 
, ч.т.д.
Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы и . Тогда любой вектор 
можно представить в виде суммы: 
, где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.
4. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам
Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Рис. 5. Разложение вектора по трем некомпланарным
Дано: некомпланарные векторы и , произвольный вектор 
.
Построим все заданные векторы из одной точки – точки О (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами и . Из точки Р проведем прямую 
, параллельно направлению . 
– точка пересечения плоскости и прямой. Векторы 
и по построению коллинеарны, значит имеем: 
. Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: 
. Вектор 
мы нашли. Вектор 
, согласно построению, лежит в плоскости векторов и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: 
.
Так, получено разложение произвольного вектора в пространстве через три некомпланарных вектора: 
Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (
), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. 
. Имеем систему:
Вычтем из первого уравнения второе:
Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: 
, 
, 
.
Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.
Итак, мы рассмотрели понятие компланарности векторов, доказали теоремы о разложении векторов на плоскости и в пространстве, рассмотрели сумму векторов в пространстве.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/komplanarnye-vektory
http://www.youtube.com/watch?v=Z5XhBZC4pZw
http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html
http://dok.opredelim.com/docs/index-1592.html
http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N110/images/geom_10_13.jpg
http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/
http://www.cleverstudents.ru/vectors/operations_on_vectors.html