11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.

Проверка знаний. Прямоугольная система координат в пространстве. Тест.

1 2 3 4 5

Найти длину вектора с началом в точке А и концом в точке В , если А (-1;-1;0); В(1;1;2).

2 √3
√3
4 √3

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Прямоугольная система координат в пространстве. Тест.

Комментарии преподавателя

Простейшие задачи в координатах

1. Введение

Пример 1. Задача на нахождение координат середины отрезка (рис. 1). Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).

Рис. 1. Координаты середины отрезка

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Вектор является половиной суммы векторов и , потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:

, , .

Пример 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты (рис. 2). Если у нас есть вектор , то его модуль вычисляется по формуле: .

Рис. 2.

Рассмотрим вывод этой формулы.

1) Начертим вектор и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.

2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.

3) Рассмотрим . OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза , - по теореме Пифагора.

4) Рассмотрим - прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. , MK=z.

- по теореме Пифагора.

Пример 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.

Рис. 3.

Решение:

1) Найдем координаты вектора . .

2) Найдем модуль вектора по его координатам:.

Задача №1.

Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, . Найти: m, n.

Решение: Так как , мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:

; ; .

Ответ: , .

Задача №2.

Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.

Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. .

Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки . Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:.

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/prosteyshie-zadachi-v-koordinatah-2

http://www.youtube.com/watch?v=plceaPIR2iM

http://www.youtube.com/watch?v=jlh9eus-_vE

http://stmplus.ucoz.ru/load/metodicheskie_materialy/geometrija_10_11_kl/prostejshie_zadachi_v_koordinatakh_atanasjan_l_s/8-1-0-56

http://static6.fileskachat.com/download.php?path=5/9/8517_2694c92c3b5ace346cce796d0c5052d6.pdf&fuid=1450435535158908698240&a=6

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/37e/37ede998299d1eb8607a2acde5061fc3.jpg

http://www.100book.ru/b393010.jpg

http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/Vektor8.jpg