11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.

Комментарии преподавателя

 1. Введение

От­ло­жим от ка­кой-ни­будь точки O век­то­ры  и  (см. рис. 1). Если век­то­ры  и не яв­ля­ют­ся со­на­прав­лен­ны­ми, то лучи ОА и ОВ об­ра­зу­ют угол АОВ - угол между век­то­ра­ми, обо­зна­чим его . Если же век­то­ры  и  - со­на­прав­ле­ны, то будем счи­тать, что угол между ними равен 0°. Если угол между век­то­ра­ми ра­вен 90°, то век­то­ры на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми. На пись­ме угол между век­то­ра­ми обо­зна­ча­ют так: .

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров на­хо­дит­ся по фор­му­ле: .

Рис. 1. Угол между век­то­ра­ми

Ос­нов­ные свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров:

1) 

2) 

3) 

4) 

Рас­смот­рим за­да­чу на на­хож­де­ние ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров.

За­да­ча 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти ска­ляр­ные про­из­ве­де­ния век­то­ров:

а) . На­хо­дим эти век­то­ра на ри­сун­ке, они со­на­прав­ле­ны, зна­чит угол между ними 0°, а эти век­то­ра равны a. По­лу­ча­ем: 

б) . Эти век­то­ра па­рал­лель­ны и про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, зна­чит, угол между ними 180°. Мо­дуль век­то­ра  - это диа­го­наль квад­ра­та, , . По­лу­ча­ем: .

в) . Так как эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны (по ри­сун­ку), то ко­си­нус угла между ними равен 0. Зна­чит, .

г) . Мо­ду­ли этих век­то­ров равны  - это диа­го­на­ли квад­ра­тов. Чтобы найти угол между нуж­ны­ми век­то­ра­ми, рас­смот­рим тре­уголь­ник A1C1B. Этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, зна­чит, угол равен 60°.

·= - 2a2

д) . Эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, .

е) . Длины этих век­то­ров равны , так как они яв­ля­ют­ся по­ло­ви­на­ми диа­го­на­лей. Эти век­то­ры про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, угол между ними 180°.

По­лу­ча­ем:.

За­да­ча 2. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). До­ка­зать: ABCD – квад­рат.

Ре­ше­ние:

1) Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров, длины ко­то­рых сов­па­да­ют с дли­на­ми сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра – это раз­ность ко­ор­ди­нат конца и на­ча­ла от­рез­ка.

, , , . По ко­ор­ди­на­там видно, что , . До­ка­за­но, что ABCD – па­рал­ле­ло­грамм.

2) Най­дем мо­ду­ли эти век­то­ров по фор­му­ле: .

По­лу­ча­ем: . До­ка­за­но, что ABCD – ромб.

3) Най­дем один угол между век­то­ра­ми. .

Сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны, сто­ро­ны равны, и один угол равен 90°, зна­чит осталь­ные углы тоже равны 90°. Сле­до­ва­тель­но, ABCD – квад­рат, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2

http://www.youtube.com/watch?v=CJOt3vy20vs

http://www.youtube.com/watch?v=FhYroW_Ff6U

http://www.youtube.com/watch?v=S1EthiiVJ4E

http://www.youtube.com/watch?v=ArFqvLlMbE0

http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img2.jpg

http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/76c6ad7d219efe5add515e0e58a05100.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/757341327.jpg?1436847671

http://fs1261.gavitex.com/get/2398829017/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.rar

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/824194016948.files/image252.png

http://dok.opredelim.com/docs/index-42169.html

http://www.metod-kopilka.ru/prezentaciya_k_zanyatiyu_po_teme_quotmetod_koordinat_v_prostranstvequot-42727.htm

http://school35.tuapse.ru/school_life/school_laboratorii/shtl%20mathematics/%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%AD.%D0%93.%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%20%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.ppt

Файлы