11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.

Комментарии преподавателя

Введем сначала понятие направляющего вектора прямой. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой параллельной данной. То есть для прямой a вектор AB является направляющим.

Пусть даны две прямые  a и b, и их направляющие вектора  и , заданные координатами. Найдем угол β между прямыми.

Возможны два случая:

1)  Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов: (см. рис. 1).

 Рис. 1. Острый угол между прямыми

2)  Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен – (180-φ). Тогда:  (см. рис. 2).

Рис. 2. Тупой угол между прямыми

Можно объединить два случая  в  одной  формуле: 

Рас­смот­рим за­да­чу на на­хож­де­ние угла между пря­мы­ми и угла между пря­мой и плос­ко­стью.

Дано: пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1, .

Най­ди­те:

а) угол между пря­мы­ми АС1 и A1B;

б) угол между пря­мой АС1 и плос­ко­стью АВС.

 Ре­ше­ние: Пусть AB=a, тогда AA1=a√2. Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке С, и опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точек A, B, C1 и A1: , , , .

 Зная ко­ор­ди­на­ты конца и на­ча­ла век­то­ров, на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты век­то­ров: , .

 а)Век­то­ры и яв­ля­ют­ся на­прав­ля­ю­щи­ми век­то­ра­ми пря­мых  AC1 и BA1, сле­до­ва­тель­но угол φ можно найти по фор­му­ле : 

 б) Так как приз­ма пра­виль­ная, сле­до­ва­тель­но . Чтобы найти угол между плос­ко­стью и пря­мой  необ­хо­ди­мо знать век­тор  и век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный плос­ко­сти ABC – век­тор нор­ма­ли-, . На­хо­дим угол между пря­мой и плос­ко­стью:

С по­мо­щью ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния можно также найти угол между плос­ко­стя­ми.

Рас­смот­рим две плос­ко­сти α и β с нор­маль­ны­ми век­то­ра­ми  и . Угол φ  между плос­ко­стя­ми α и β можно вы­ра­зить через угол .

Воз­мож­ны два слу­чая:

1) Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ;

2) Если ψ > 90°, то φ = 180°-ψ .

 Зна­чит, угол φ можно найти по фор­му­ле: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/vychislenie-uglov-mezhdu-pryamymi-i-ploskostyami

http://www.youtube.com/watch?v=nDXmo9kByak

http://www.youtube.com/watch?v=KcqV1DMQLZ8

http://www.youtube.com/watch?v=2Z8RvVVY-Zk

http://ppt4web.ru/algebra/vychislenie-uglov-mezhdu-prjamymi-i-ploskostjami.html

http://cs605621.vk.me/v605621104/6d02/h6MaXQ6XcEs.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-25Y6Op5F-oc/T1TRIL41EcI/AAAAAAAAA_4/7kf0N_lmA-4/s1600/Geom_89.jpg

http://www.100book.ru/b393010.jpg

C:\Users\Пользователь\Desktop\АЛТЫНОВ геометрия 11 класс ТЕСТЫ.pdf

Файлы