11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.
Комментарии преподавателя
Решение задач с помощью координатного метода
Рассмотрим решение задач с помощью координатного метода.
Задача 1. Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1; DA=1; DC=2; DD1=3. Найти: угол между прямыми CB1 и D1B.
Рис. 1.
Решение: Введем систему координат Dxyz (см. рис. 1) и найдем направляющие векторы D1B и СB1. Для этого сначала найдем координаты точек D1, B, C и B1, так как через них проходят нужные нам прямые. D1(0;0;3), B(1;2;0), C(0;2;0), B1(1;2;3). Зная координаты точек, мы можем найти координаты направляющих векторов, вычитая из координат конца координаты начала вектора: , . Найдем косинус угла между прямыми CB1 и D1B: .
Значит, .
Задача 2. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; точка M лежит на ребре AA1; AM:MA1=3:1,
N-середина BC.
Найти: косинус угла между прямыми MN и DD1.
Рис. 2.
Решение: Введем систему координат Dxyz (см. рис 2). Так как , удобно взять ребро куба равное 4a – AB=4a, тогда нужные нам точки выражаются целыми числами. Пусть ребро куба равно 4a, тогда координаты точек: , , . Зная координаты этих точек, мы можем найти направляющие вектора прямых DD1 и MN: , . По формуле находим косинус угла между прямыми:
.
Задача 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; .Найти: угол между прямыми BD и CD1.
Рис. 3.
Решение: Введем систему координат Bxyz (см. рис.3) и найдем направляющие векторы прямых BD и CD1. Пусть AB=BC=a, тогда AA1=2a. Теперь найдем координаты точек B, D, C и D1: B(0;0;0), D(a;a;0), C(a;0;0), D1(a;a;2a). Чтобы найти угол между прямыми, необходимо найти направляющие векторы этих прямых: , .
Применим формулу для нахождение косинуса угла между прямыми: .
2-ой способ решения: Существует второе решение задачи №3 без использования векторов. Для такого решения построим угол между прямыми BD и CD1 с помощью параллельного переноса прямой CD1 на плоскость ABA1, получим прямую BA1. Значит, угол A1BD – равен искомому.
Рис. 4.
Для удобства нарисуем заново и рассмотрим треугольник A1BD (см. рис. 4). Искомый угол φ – угол при вершине B. Найдем стороны треугольника A1BD. Сторона BD – это диагональ квадрата, лежащего в основании параллелепипеда, .. Таким образом, мы знаем стороны треугольника. Чтобы найти угол при вершине B, записываем теорему косинусов для противолежащей стороны: .
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/reshenie-zadach-s-pomoschyu-koordinatnogo-metoda
http://www.youtube.com/watch?v=2UAel4Qrlzc
http://www.youtube.com/watch?v=mv8IL3R2FDE
http://www.youtube.com/watch?v=plceaPIR2iM
http://multiurok.ru/lyudmilaalexeeva/files/mietod-koordinat-v-prostranstvie-gieomietriia-11-klass.html
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/37e/37ede998299d1eb8607a2acde5061fc3.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-uC-jTvj4mSk/T637LHctBRI/AAAAAAAAABk/NW8jk3M5KhQ/s1600/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87+%D0%A1+2+%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC+%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%821.PNG
http://cs407822.vk.me/v407822217/348a/mFD9-0kh8_I.jpg
http://www.cleverstudents.ru/vectors/scalar_product_of_vectors.html
http://www.mathprofi.ru/skaljarnoe_proizvedenie_vektorov.html