11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние задач с по­мо­щью ко­ор­ди­нат­но­го ме­то­да

Рас­смот­рим ре­ше­ние задач с по­мо­щью ко­ор­ди­нат­но­го ме­то­да.

За­да­ча 1. Дано: пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA1B1C1D1; DA=1; DC=2; DD1=3. Найти: угол между пря­мы­ми CB1 и D1B.

Рис. 1.

Ре­ше­ние: Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат Dxyz (см. рис. 1) и най­дем на­прав­ля­ю­щие век­то­ры D1B и СB1. Для этого сна­ча­ла най­дем ко­ор­ди­на­ты точек D1, B, C и B1, так как через них про­хо­дят нуж­ные нам пря­мые. D1(0;0;3), B(1;2;0), C(0;2;0), B1(1;2;3). Зная ко­ор­ди­на­ты точек, мы можем найти ко­ор­ди­на­ты на­прав­ля­ю­щих век­то­ров, вы­чи­тая из ко­ор­ди­нат конца ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла век­то­ра: , . Най­дем ко­си­нус угла между пря­мы­ми CB1 и D1B: .

Зна­чит, .

За­да­ча 2. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; точка M лежит на ребре AA1; AM:MA1=3:1,

N-се­ре­ди­на BC.

Найти: ко­си­нус угла между пря­мы­ми MN и DD1.

Рис. 2.

Ре­ше­ние: Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат Dxyz (см. рис 2). Так как , удоб­но взять ребро куба рав­ное 4a – AB=4a, тогда нуж­ные нам точки вы­ра­жа­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми. Пусть ребро куба равно 4a, тогда ко­ор­ди­на­ты точек: , , . Зная ко­ор­ди­на­ты этих точек, мы можем найти на­прав­ля­ю­щие век­то­ра пря­мых DD1 и MN: , . По фор­му­ле на­хо­дим ко­си­нус угла между пря­мы­ми:

.

За­да­ча 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед; .Найти: угол между пря­мы­ми BD и CD1.

Рис. 3.

Ре­ше­ние: Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат Bxyz (см. рис.3) и най­дем на­прав­ля­ю­щие век­то­ры пря­мых BD и CD1. Пусть AB=BC=a, тогда AA1=2a. Те­перь най­дем ко­ор­ди­на­ты точек B, D, C и D1: B(0;0;0), D(a;a;0), C(a;0;0), D1(a;a;2a). Чтобы найти угол между пря­мы­ми, необ­хо­ди­мо найти на­прав­ля­ю­щие век­то­ры этих пря­мых: , .

При­ме­ним фор­му­лу для на­хож­де­ние ко­си­ну­са угла между пря­мы­ми: .

2-ой спо­соб ре­ше­ния: Су­ще­ству­ет вто­рое ре­ше­ние за­да­чи №3 без ис­поль­зо­ва­ния век­то­ров. Для та­ко­го ре­ше­ния по­стро­им угол между пря­мы­ми BD и CD1 с по­мо­щью па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са пря­мой CD1 на плос­кость ABA1, по­лу­чим пря­мую BA1. Зна­чит, угол A1BD – равен ис­ко­мо­му.

Рис. 4.

Для удоб­ства на­ри­су­ем за­но­во и рас­смот­рим тре­уголь­ник A1BD (см. рис. 4). Ис­ко­мый угол φ – угол при вер­шине B. Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка A1BD. Сто­ро­на BD – это диа­го­наль квад­ра­та, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да, .. Таким об­ра­зом, мы знаем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Чтобы найти угол при вер­шине B, за­пи­сы­ва­ем тео­ре­му ко­си­ну­сов для про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны: .

.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/reshenie-zadach-s-pomoschyu-koordinatnogo-metoda

http://www.youtube.com/watch?v=2UAel4Qrlzc

http://www.youtube.com/watch?v=mv8IL3R2FDE

http://www.youtube.com/watch?v=plceaPIR2iM

http://multiurok.ru/lyudmilaalexeeva/files/mietod-koordinat-v-prostranstvie-gieomietriia-11-klass.html

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/37e/37ede998299d1eb8607a2acde5061fc3.jpg

http://1.bp.blogspot.com/-uC-jTvj4mSk/T637LHctBRI/AAAAAAAAABk/NW8jk3M5KhQ/s1600/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87+%D0%A1+2+%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC+%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%821.PNG

http://cs407822.vk.me/v407822217/348a/mFD9-0kh8_I.jpg

http://www.cleverstudents.ru/vectors/scalar_product_of_vectors.html

http://www.mathprofi.ru/skaljarnoe_proizvedenie_vektorov.html

Файлы