11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. Движения пространства.
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. Движения пространства.
Комментарии преподавателя
Уравнение плоскости
Уравнение с тремя переменными x, у, z называется уравнением данной поверхности P в системе координат Охуz, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности Р и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Из всех возможных поверхностей нас сегодня будет интересовать уравнение плоскости.
Уравнение плоскости через точку и вектор
Пусть дана некоторая точка M0(x0;y0;z0) и ненулевой вектор 
. Через точку M0 можно провести только одну плоскость α перпендикулярную вектору (см. рис. 1).
Рис. 1.
Выведем уравнение плоскости α. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости α только тогда, когда вектор 
перпендикулярен вектору . Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору, можно записать в виде: 
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору формула
Итак, формула уравнения плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору:
Вектор в уравнении называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.
Пусть координаты вектора равны 
. И обозначим координаты произвольной точки М через x, y и z. Тогда вектор имеет координаты 
.
Уравнение плоскости через точку
Теперь можно записать уравнение плоскости через координаты вектора и вектора :
Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору (А; В; С). Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, обозначив слагаемые, не содержащие переменные за D:
;
;
.
Расстояние от точки до плоскости
Зная уравнение плоскости, можно найти расстояние от точки, не лежащей на плоскости до самой плоскости.
Расстояние от точки до плоскости задача
Дано: В некоторой декартовой системе координат уравнение Ax+By +Cz+D=0, описывающее плоскость. M0(x0, y0, z0) - точка пространства, заданная своими координатами в той же системе координат (см. рис. 2).
Рис. 2.
Найти: расстояние от точки М0 до плоскости.
Решение: Пусть точка М1(x1;y1;z1)-проекция точки М0 на плоскость. Значит, нам необходимо найти длину отрезка M0M1. Чтобы найти расстояние d, выразим вектор 
через вектор нормали, координаты которого мы знаем по уравнению плоскости - (А; В; С): 
.
Так как вектор и вектор - коллинеарны, значит, можно выразить координаты вектора двумя способами: 
, 
.
Получаем систему уравнений:
Выражаем координаты точки M1:
Подставим координаты точки M1 в уравнение плоскости, так как эта точка лежит в плоскости α:
.
Отсюда выражаем коэффициент k:
.
Формула расстояния от точки до плоскости
Теперь выведем формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости:
.
Уравнение плоскости задачи
Задача 1.
Дано: Треугольник с вершинами в точках А1{-5;2;7), А2(5;0;6), А3(0;-1;2). А1М0 – медиана (см. рис. 3). Найти: уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.
Рис. 3.
Решение:
Чтобы написать уравнение плоскости, мы должны знать координаты точки М0, принадлежащей плоскости, и координаты вектора нормали. За нормальный вектор плоскости можно принять вектор 
. Определим его координаты. Точка М0— середина отрезка А2А3, поэтому, ее координаты равны 
.
Координаты нормального вектора находим, вычитая из координат конца координаты начала вектора: 
.
Теперь подставим все нужные числа в уравнение плоскости:
;
.
Ответ: .
Расстояние от точки до плоскости задача 2
Задача 2.
Дано: прямоугольный параллелепипед (см. рис. 4), AB=4; AD=3; AA1=2. A1K:KD1=2:1; K∈α; 
; 
. Найти: а) Расстояние от B1 до α, б) Расстояние от M до D1.
Рис. 4.
Решение: Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.
а) Чтобы найти нужное нам расстояние напишем уравнение плоскости α. Для этого узнаем координаты точки K и координаты вектора нормали к плоскости. Вектор нормали в данном случае – это вектор 
. Так как это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки С1. 
; K(0;2;2).
Тогда уравнение плоскости α имеет вид 
,
Или 
.
Искомое расстояние от точки В1 до плоскости α находим по формуле: 
.
Координаты точки В1 равны (4;0;2). Тогда 
.
б) Чтобы узнать необходимое расстояние найдем координаты точек M и D1, D1(0;3;2).По условию, точка M находится на прямой BC, значит M(4;y;0). Так как точка М(4;y;0) принадлежит плоскости α, то ее координаты можно подставить в уравнение плоскости, которое мы уже знаем -
Получили: 16+3y-10=0. Тогда y=-2, M(4;-2;0).
Теперь найдем модуль вектора 
, как корень из суммы квадратов разности координат конца и начала вектора: 
.
Ответ: 
; 
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/uravnenie-ploskosti
http://www.youtube.com/watch?v=M5RfXWoz5jQ
http://www.youtube.com/watch?v=Zpv7yKF1QXI
http://www.youtube.com/watch?v=GivURs3Fuqk
http://www.youtube.com/watch?v=VQ4mfAXr238
http://www.youtube.com/watch?v=gD5rtKppYu4
http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/normal_equation_of_plane.html
http://www.mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html
http://dealer-auto.spb.ru/blog.php?snjqf=/rcxdfcn/statistika_naseleniya_zadachi_s_resheniem_2626_3.jpg
http://mypresentation.ru/download/uravnenie_ploskosti_v_prostranstve