11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. Движения пространства.

Комментарии преподавателя

Дви­же­ния. Цен­траль­ная и осе­вая сим­мет­рии

В курсе пла­ни­мет­рии мы по­зна­ко­ми­лись с дви­же­ни­я­ми плос­ко­сти, т. е. отоб­ра­же­ни­я­ми плос­ко­сти на себя, со­хра­ня­ю­щи­ми рас­сто­я­ния между точ­ка­ми. Вве­дем те­перь по­ня­тие дви­же­ния про­стран­ства. До­пу­стим, что каж­дой точке М про­стран­ства по­став­ле­на в со­от­вет­ствие неко­то­рая точка М1  при­чем любая точка М1  про­стран­ства ока­за­лась по­став­лен­ной в со­от­вет­ствие ка­кой-то точке М. Тогда го­во­рят, что за­да­но отоб­ра­же­ние про­стран­ства на себя.  При дан­ном отоб­ра­же­нии точка М  пе­ре­хо­дит (отоб­ра­жа­ет­ся)  в точку М1.

Под дви­же­ни­ем про­стран­ства по­ни­ма­ет­ся отоб­ра­же­ние про­стран­ства на себя, при ко­то­ром любые две точки А и В пе­ре­хо­дят (отоб­ра­жа­ют­ся) в ка­кие-то точки А1 и В1 так, что А1В1=АВ. То есть, дви­же­ние про­стран­ства — это отоб­ра­же­ние про­стран­ства на себя, со­хра­ня­ю­щее рас­сто­я­ния между точ­ка­ми.

При­ме­ром дви­же­ния может слу­жить цен­траль­ная сим­мет­рия. На ри­сун­ке (см. рис. 1) точка В пе­ре­хо­дит в точку В1, точка С пе­ре­хо­дит в точку С1, S-центр сим­мет­рии, при­чем BS=B1S, CS=C1S.

Рис. 1.

До­ка­жем, что цен­траль­ная сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем. Обо­зна­чим бук­вой S центр сим­мет­рии и вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Sxyz с на­ча­лом в точке S. Пусть точка B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2), тогда B1(-x1,-y1,-z1), C1(-x2,-y2,-z2), так как S-се­ре­ди­на от­рез­ка ВВ1 и СС1.

Тогда ;

.

По­лу­чи­ли, что ВС =В1С1 , сле­до­ва­тель­но цен­траль­ная сим­мет­рия-дви­же­ние.

Дру­гим при­ме­ром дви­же­ния яв­ля­ет­ся осе­вая сим­мет­рия (см. рис. 2).

На ри­сун­ке точка B сим­мет­рич­на точке B1 от­но­си­тель­но пря­мой a, то есть точка B пе­ре­хо­дит в точку B1, а точка C пе­ре­хо­дит в точку C1: , . При этом пря­мые BB1 и CC1 – пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой a, и S – се­ре­ди­на CC1, S1 – се­ре­ди­на BB1.

Рис. 2.

До­ка­жем, что осе­вая сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем. Для этого вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Охуz так, чтобы ось Оz сов­па­ла с осью сим­мет­рии. Ко­ор­ди­на­ты точек равны: B(х1; у1; z1), B1(-х1; -у1; z1), C(х2; у2; z2) и C1(-х2; -у2; z2).

Най­дем длину от­рез­ков ВС и В1С1:

;

.

Из по­лу­чен­ных фор­мул видно, что ВС=В1С1, зна­чит при осе­вой сим­мет­рии рас­сто­я­ния между точ­ка­ми В, С и их отоб­ра­же­ни­я­ми В1, С1 равны. Зна­чит осе­вая сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Зер­каль­ная сим­мет­рия. Па­рал­лель­ный пе­ре­нос

Еще одним видом дви­же­ния яв­ля­ет­ся зер­каль­ная сим­мет­рия.

Зер­каль­ной сим­мет­ри­ей (сим­мет­ри­ей от­но­си­тель­но плос­ко­сти α) на­зы­ва­ет­ся такое отоб­ра­же­ние про­стран­ства на себя, при ко­то­ром любая точка B пе­ре­хо­дит в сим­мет­рич­ную ей от­но­си­тель­но плос­ко­сти α точку B1 (см. рис. 1).

Рис. 1.

До­ка­жем, что зер­каль­ная сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем. Для этого вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Охуz так, чтобы плос­кость Оху сов­па­ла с плос­ко­стью сим­мет­рии, и уста­но­вим связь между ко­ор­ди­на­та­ми точек B(x1;y1;z1) и B1(x1;y1;-z1), C(x2;y2;z2) и C1(x2;y2;-z2) сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но плос­ко­сти Оху.

Най­дем длину от­рез­ков ВС и В1С1 по фор­му­ле рас­сто­я­ния между точ­ка­ми:

,

.

От­сю­да, ВС=В1С1, зна­чит, зер­каль­ная сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

При­ве­дем еще один при­мер дви­же­ния про­стран­ства (см. рис. 2). Возь­мем ка­кой-ни­будь век­тор.Па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом на век­тор  на­зы­ва­ет­ся отоб­ра­же­ние про­стран­ства на себя, при ко­то­ром любая точка М пе­ре­хо­дит в такую точку М1, что ММ1 = .

Рис. 2. Па­рал­лель­ный пе­ре­нос.

До­ка­жем, что па­рал­лель­ный пе­ре­нос яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем (см. рис. 3). При па­рал­лель­ном пе­ре­но­се на век­тор любые две точки А и В пе­ре­хо­дят в точки А1 и В1. Тре­бу­ет­ся до­ка­зать, что А1В1=АВ.

Рис. 3.

Рас­смот­рим век­тор . По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка  или .

Так как , сле­до­ва­тель­но . Зна­чит, А1В1 = АВ.

Мы до­ка­за­ли, что при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се рас­сто­я­ние между точ­ка­ми со­хра­ня­ет­ся, зна­чит па­рал­лель­ный пе­ре­нос яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/dvizheniya-tsentralnaya-i-osevaya-simmetrii

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/zerkalnaya-simmetriya-parallelnyy-perenos

http://www.youtube.com/watch?v=3XywMbxrB1g

http://www.youtube.com/watch?v=GnPU7NR2bB4

http://www.youtube.com/watch?v=Fu_5K9Xr4yU

https://www.youtube.com/watch?v=Nm6kemKJG8k

http://u.900igr.net/zip/6df3b955cb1bc4c7bbb686109d3b61bb.zip

http://u.900igr.net/zip/6c4976437dd82025deda9da87d24ac3e.zip

http://v.5klass.net/zip/f7aace00c204dabc6bcc60dd0d787f45.zip

http://5klass.net/geometrija-11-klass/Dvizhenie-i-simmetrija/006-Zerkalnaja-simmetrija.html

http://prezentacii.com/engine/download.php?id=18

http://prezentacii.com/matematike/75-prezentaciya-preobrazovanie-simmetrii-v-prostranstve.html

http://ppt4web.ru/uploads/ppt/1344/a80663562edf41125bc9b7fe8e38add3.ppt

http://www.yaklass.ru/p/geometria/11-klass/metod-koordinat-v-prostranstve-dvizheniia-10439/dvizheniia-12444/re-173fee54-d497-47c1-82e1-e1a0a0d883e2

Файлы