5 класс. Математика. Обыкновенные дроби

Комментарии преподавателя

Само слово «дробь» ста­рин­ное и озна­ча­ет «часть». Сей­час это слово оста­лось толь­ко у охот­ни­ков (они стре­ля­ют дро­бью) и в ма­те­ма­ти­ке. И еще нам оста­лись слова «дроб­ный», «дро­бить».

 Для чего нужна дробь.

По­то­му что часто мы имеем дело с ча­стя­ми, с неце­лы­ми ко­ли­че­ства­ми. На­при­мер, делим яб­ло­ко на три части.

Без дроби не обой­тись. Одна часть – это . (Рис. 1.)

Рис. 1. Изоб­ра­же­ние 

Две части – . (Рис. 2.)

Рис. 2. Изоб­ра­же­ние 

Не обя­за­тель­но что-то ре­зать на части.

Для мно­же­ства из пяти яблок одно яб­ло­ко – это , два яб­ло­ка –  от об­ще­го ко­ли­че­ства. (Рис. 3.) 

Рис. 3. Изоб­ра­же­ние 

То есть дробь нужна, чтобы обо­зна­чить некое ко­ли­че­ство, в том числе неце­лое.

Одно и то же ко­ли­че­ство можно обо­зна­чить раз­ны­ми дро­бя­ми.

 Обозначение половины

Раз­ре­жем торт на 2 части, возь­мем одну часть.

Можно раз­ре­зать на 4 части и взять две, будет то же самое ко­ли­че­ство, по­ло­ви­на. (Рис. 4.)

Рис. 4. Изоб­ра­же­ние по­ло­ви­ны

Спо­со­бов бес­ко­неч­но много. Можно раз­де­лить на 10 ча­стей и взять пять, или на мил­ли­он ча­стей и взять пол­мил­ли­о­на.

Зачем нужно представлять по-разному одно и тоже количество?

Ино­гда нам удоб­но одно пред­став­ле­ние, ино­гда дру­гое.

Маша съела  торта, потом еще  дру­го­го. Сколь­ко всего было съе­де­но?

Надо найти сумму . (Рис. 5.)

Раз­ные куски по раз­ме­ру слож­но скла­ды­вать, по­это­му пред­ста­вим пер­вое ко­ли­че­ство дру­гой дро­бью. Раз­де­лим каж­дый кусок еще на две части, то есть всего на 6. То есть кусок пер­во­го торта можно обо­зна­чить не толь­ко , но и эк­ви­ва­лент­ной за­пи­сью – .

 и  – это .

А  снова можно обо­зна­чить эк­ви­ва­лент­ной за­пи­сью – . Всего было съе­де­но пол­тор­та.

Рис. 5. Сумма дро­бей

 Всегда ли дробь меньше единицы?

Пред­по­ло­жим, что мы чи­та­ем ре­цепт бли­нов. И при­ки­ды­ва­ем, хва­тит ли нам од­но­го лит­ро­во­го па­ке­та мо­ло­ка.

5 ста­ка­нов мо­ло­ка – это 1 литр.

Если тре­бу­ет­ся один ста­кан – это  литра. Это, несо­мнен­но, мень­ше 1 литра.

Два ста­ка­на тоже мень­ше 1. При этом два ста­ка­на – это  литра.

Если по ре­цеп­ту тре­бу­ет­ся 5 ста­ка­нов мо­ло­ка, то это уже  литра. Но, оче­вид­но, это равно це­ло­му литру.

По ре­цеп­ту может по­тре­бо­вать­ся, на­при­мер, 6 ста­ка­нов,  литра. Но это уже на 1 ста­кан боль­ше, чем литр.

То есть дро­бью может быть обо­зна­че­но ко­ли­че­ство мень­ше еди­ни­цы, рав­ное еди­ни­це или боль­ше еди­ни­цы.

Правильные и неправильные дроби

Так как слово «дробь» обо­зна­ча­ло часть, то есть мень­ше це­ло­го, то те дроби, ко­то­рые обо­зна­ча­ют ко­ли­че­ство, мень­шее еди­ни­цы, на­зва­ли «пра­виль­ны­ми» дро­бя­ми, а осталь­ные – «непра­виль­ны­ми».

То есть дроби  и  на­зы­ва­ют­ся пра­виль­ны­ми, так как они мень­ше еди­ни­цы.

А вот уже  и – непра­виль­ны­ми.

Если чис­ли­тель мень­ше зна­ме­на­те­ля, то дробь мень­ше еди­ни­цы и мы на­зы­ва­ем ее пра­виль­ной.

Если чис­ли­тель равен зна­ме­на­те­лю, то дробь равна еди­ни­це и уже на­зы­ва­ет­ся непра­виль­ной.

Если чис­ли­тель боль­ше зна­ме­на­те­ля, то дробь боль­ше еди­ни­цы и тоже непра­виль­ная.

При­мер

Пра­виль­ные дроби со зна­ме­на­те­лем 259:

Непра­виль­ные дроби со зна­ме­на­те­лем 259:

Срав­ним сле­ду­ю­щие дроби:

 – пра­виль­ная дробь, мень­ше еди­ни­цы;

 – непра­виль­ная, равна еди­ни­це;

 – непра­виль­ная, боль­ше еди­ни­цы.

Таким об­ра­зом:

Заключение.

Итак,

1. Если дробь мень­ше еди­ни­цы, то ее на­зы­ва­ют пра­виль­ной. В этом слу­чае чис­ли­тель все­гда мень­ше зна­ме­на­те­ля.

2. Если у дроби чис­ли­тель и зна­ме­на­тель равны, то дробь равна еди­ни­це и на­зы­ва­ет­ся непра­виль­ной.

3. Если чис­ли­тель боль­ше зна­ме­на­те­ля, то дробь боль­ше еди­ни­цы и тоже на­зы­ва­ет­ся непра­виль­ной.

Источник видео:https://www.youtube.com/watch?v=YAlxhUdgwCk

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/drobnye-chisla/pravilnye-i-nepravilnye-drobi?konspekt&chapter_id=842

Источник теста: Тесты по математике 5 класс к учебнику Зубаревой И.И., Мордкович А.Г. - Рудницкая В.Н. 2013г. 

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.