11 класс. Геометрия. Тела вращения. Цилиндр. Понятие, решение задач.

Комментарии преподавателя

 Введение

Рис. 1. Пред­ме­ты ци­лин­дри­че­ской формы

Что вы пред­став­ля­е­те, когда слы­ши­те слово «ци­линдр»? Кто-то пред­ста­вил себе трубу, она имеет ци­лин­дри­че­скую форму. Хло­пуш­ка, насос, палка кол­ба­сы – все они также имеют ци­лин­дри­че­скую форму (см. рис. 1).

Рис. 2. Пи­зан­ская башня

А что вы ду­ма­е­те на счет всем из­вест­ной Пи­зан­ской башни? Можно на­звать ее форму ци­лин­дри­че­ской или нет, так как она на­кло­не­на? (см. рис. 2)

 Разветвление: Пизанская башня

Пи­зан­ская башня. Кста­ти, а вы знали, что Пи­зан­ская башня была на­кло­не­на непред­на­ме­рен­но? Все про­изо­шло по­то­му, что почва была слиш­ком мяг­кой и про­се­да­ла с одной сто­ро­ны – еще во время стро­и­тель­ства. Так что не будь этого, башня была бы ци­лин­дри­че­ской в при­выч­ном для нас смыс­ле. За­бав­но, что башня про­дол­жа­ла на­кло­нять­ся все это время, про­цесс за­вер­шил­ся лишь в 2008 году, со­всем недав­но!

 Цилиндр, его элементы и виды цилиндров

Рис. 3. Пря­мые пе­ре­се­ка­ют плос­кость  по окруж­но­сти

Рас­смот­рим про­из­воль­ные па­рал­лель­ные плос­ко­сти и. В плос­ко­сти  рас­смот­рим окруж­ность с цен­тром в точке  ра­ди­у­са . Те­перь про­ве­дем через каж­дую точку этой окруж­но­сти пря­мую (не ле­жа­щую в дан­ной плос­ко­сти) так, чтобы все про­ве­ден­ные пря­мые были па­рал­лель­ны. Эти пря­мые пе­ре­се­кут плос­кость  по дру­гой окруж­но­сти того же ра­ди­у­са (см. рис. 3).

 Разветвление: Параллельный перенос

Па­рал­лель­ный пе­ре­нос. По­че­му по­лу­чит­ся имен­но окруж­ность? По сути, мы каж­дую точку пе­ре­нес­ли на один и тот же век­тор (век­то­ры равны, так как они со­на­прав­ле­ны и равны по длине как от­рез­ки па­рал­лель­ных пря­мых, за­клю­чен­ных между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми). Но па­рал­лель­ный пе­ре­нос есть дви­же­ние, а зна­чит, на­ло­же­ние, при ко­то­ром фи­гу­ра пе­ре­хо­дит в рав­ную ей фи­гу­ру, ч т.д.

 Сечения цилиндра

Рис. 4. Ци­лин­дри­че­ская по­верх­ность и её об­ра­зу­ю­щие

Со­во­куп­ность па­рал­лель­ных пря­мых, со­еди­ня­ю­щих точки на окруж­но­стях, на­зы­ва­ет­ся ци­лин­дри­че­ской по­верх­но­стью, а сами пря­мые – об­ра­зу­ю­щи­ми ци­лин­дри­че­ской по­верх­но­сти (см. рис.4). И те­перь мы го­то­вы дать глав­ное опре­де­ле­ние урока.

Рис. 5. Кру­го­вой ци­линдр

Кру­го­вым ци­лин­дром на­зы­ва­ет­ся тело в про­стран­стве, огра­ни­чен­ное двумя кру­га­ми и ци­лин­дри­че­ской по­верх­но­стью (см. рис. 5).

Сразу ого­во­рим­ся, что это по­ня­тие можно обоб­щить, про­сто ци­линдр – это когда ос­но­ва­ния не круги. Но мы оста­но­вим­ся толь­ко на кру­го­вых, их и будем иметь в виду в даль­ней­шем.

Рис. 6. Ос­но­ва­ния и ра­ди­у­сы

Круги – ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Ра­ди­ус каж­до­го из ос­но­ва­ний (они равны) – ра­ди­ус ци­лин­дра (см. рис. 6).

Рис. 7. Об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра

От­рез­ки об­ра­зу­ю­щих, за­клю­чен­ные между ос­но­ва­ни­я­ми, – об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра (см. рис. 7).

Рис. 8. Эл­лип­ти­че­ский ци­линдр

Само слово ци­линдр про­ис­хо­дит от гре­че­ско­го «ки­лин­дрос» – валик, каток. На­пом­ним, ци­линдр, ко­то­рый мы рас­смат­ри­ва­ем, еще на­зы­ва­ют кру­го­вым, так как в ос­но­ва­ни­ях лежат круги. Если рас­смот­реть дру­гую фи­гу­ру (на­при­мер, эл­липс), то по­лу­чит­ся эл­лип­ти­че­ский ци­линдр (см. рис. 8).

Рис. 9. Пря­мой ци­линдр

Если об­ра­зу­ю­щие пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­ни­ям ци­лин­дра, такой ци­линдр на­зы­ва­ет­ся пря­мым (см. рис. 9).

В курсе школь­ной гео­мет­рии обыч­но рас­смат­ри­ва­ют­ся имен­но пря­мые кру­го­вые ци­лин­дры, при­чем по умол­ча­нию любой ци­линдр счи­та­ет­ся пря­мым кру­го­вым. По­го­во­рим о таких ци­лин­драх.

Рис. 10. Ось ци­лин­дра

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры ос­но­ва­ний та­ко­го ци­лин­дра, – ось ци­лин­дра (см. рис. 10).

Рис. 11. Вра­ще­ние пря­мо­уголь­ни­ка во­круг оси

Вра­щая пря­мо­уголь­ник во­круг этой оси, можно по­лу­чить наш ци­линдр (см. рис. 11).

Рис. 12. Вы­со­та

Вве­дем сле­ду­ю­щее опре­де­ле­ние. Вы­со­той ци­лин­дра на­зо­вем от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий точки его ос­но­ва­ний и пер­пен­ди­ку­ляр­ный ос­но­ва­ни­ям. Вы­со­той пря­мо­го кру­го­во­го ци­лин­дра яв­ля­ет­ся ось (или об­ра­зу­ю­щая) – все равно: они в пря­мом кру­го­вом ци­лин­дре равны (см. рис. 12).

Се­че­ния ци­лин­дра

Рис. 13. Пер­пен­ди­ку­ляр­ное се­че­ние ци­лин­дра

Далее рас­смот­рим пер­пен­ди­ку­ляр­ное се­че­ние та­ко­го ци­лин­дра (то есть се­че­ние, пер­пен­ди­ку­ляр­ное оси). Неслож­но по­нять, что, где бы мы его ни про­ве­ли, в се­че­нии будет такой же круг, что и в любом из ос­но­ва­ний (см. рис. 13).

Рис. 14. Осе­вое се­че­ние

Можно также рас­смот­реть се­че­ние, про­хо­дя­щее через ось ци­лин­дра. В этом слу­чае оно пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник, одна сто­ро­на ко­то­ро­го равна об­ра­зу­ю­щей (или оси), а дру­гая яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния. Такое се­че­ние на­зы­ва­ют осе­вым. Имен­но вра­щая такое се­че­ние во­круг оси, мы и по­лу­ча­ем наш ци­линдр (см. рис. 14).

Рис. 15. Непер­пен­ди­ку­ляр­ное се­че­ние

На­ко­нец, можно го­во­рить и о непер­пен­ди­ку­ляр­ном се­че­нии: ведь ту же палку кол­ба­сы можно на­ре­зать не толь­ко пер­пен­ди­ку­ляр­но, но и под углом. В этом слу­чае се­че­ние по­лу­чит­ся в форме эл­лип­са, но об этих фи­гу­рах мы пока по­дроб­но го­во­рить не будем (см. рис. 15).

 Сходство цилиндра с призмой

Не сло­жи­лось ли у вас ощу­ще­ния, что все это вам уже зна­ко­мо? Два рав­ных ос­но­ва­ния, вы­со­та, бо­ко­вые «ребра», рав­ные и па­рал­лель­ные друг другу? Где мы это уже ви­де­ли? Ко­неч­но, в приз­ме! И так же, как с ци­лин­дром, приз­мы бы­ва­ли пря­мые и на­клон­ные (см. рис. 16).

Рис. 16 Пря­мые и на­клон­ные ци­лин­дры и приз­мы

Про­сто у приз­мы в ос­но­ва­ни­ях – мно­го­уголь­ни­ки, а у ци­лин­дра – круги. Но ведь круг – это пре­дель­ный слу­чай мно­го­уголь­ни­ка, а зна­чит, мно­гие факты и тео­ре­мы для ци­лин­дра будут ана­ло­гич­ны тем, что были верны для приз­мы.

 Разветвление: Задача

За­да­ча

Осе­вое се­че­ние ци­лин­дра – квад­рат со сто­ро­ной 20 см. Найти вы­со­ту ци­лин­дра, ра­ди­ус ци­лин­дра, ось ци­лин­дра и пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

Ре­ше­ние

Одна из сто­рон осе­во­го се­че­ния – об­ра­зу­ю­щая (она же равна оси ци­лин­дра и она же равна вы­со­те). Зна­чит, вы­со­та и ось равны 20 см. Далее, вто­рая сто­ро­на осе­во­го се­че­ния – диа­метр ос­но­ва­ния. Он равен 20 см, зна­чит, ра­ди­ус – 10 см. На­ко­нец, пло­щадь ос­но­ва­ния ищет­ся по фор­му­ле 

 Заключение

На этом уроке мы узна­ли о ци­лин­дри­че­ской по­верх­но­сти, видах ци­лин­дра, эле­мен­тах ци­лин­дра и сход­стве ци­лин­дра с приз­мой.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/ponyatie-tsilindra

http://www.youtube.com/watch?v=4hpihC9KPGE

http://www.youtube.com/watch?v=eLv-lSek-60

http://www.youtube.com/watch?v=n-VNBlSlEaM

http://www.youtube.com/watch?v=KXfQkv4FXu4

http://www.youtube.com/watch?v=P7_5qWj2BZM

http://dok.opredelim.com/docs/index-7319.html

http://mypresentation.ru/download/125438_ponyatie_cilindra__prezentaciya_po_geometrii

http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/95242/50208d20656afdeb627a755fe2f9813e.ppt

http://mateshka.ru/matematika/tela-vrasheniya.html

http://math4school.ru/tela_vrashhenija.html#spr1301

http://www.stendzakaz.ru/images/school/k-geom/k-geom-30.jpg

Файлы