11 класс. Геометрия. Тела вращения. Цилиндр. Понятие, решение задач.

Комментарии преподавателя

 Площадь боковой поверхности цилиндра

Рис. 1. Ци­лин­дри­че­ская бочка

Мы с вами знаем, что такое ци­линдр, по­про­бу­ем найти пло­щадь его по­верх­но­сти. Зачем нужно ре­шать такую за­да­чу? На­при­мер, нужно по­нять, сколь­ко ма­те­ри­а­ла пой­дет на из­го­тов­ле­ние ци­лин­дри­че­ской бочки (См. Рис. 1).

Рис. 2. Пи­зан­ская башня

Или сколь­ко кир­пи­чей по­на­до­бит­ся, чтобы сло­жить кир­пич­ную башню (вроде Пи­зан­ской, толь­ко ров­ную)? (См. Рис. 2.)

Ко­неч­но, из­ме­рить пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра про­сто так не по­лу­чит­ся. Но пред­ста­вим себе все ту же бочку, об­мо­тан­ную тка­нью. (См. Рис. 3.) Как найти пло­щадь куска ткани? Ну ко­неч­но, раз­ре­зав ткань и раз­ло­жив ее на столе! По­лу­чит­ся пря­мо­уголь­ник, его пло­щадь легко най­дем. (См. Рис. 4.)

Рис. 5

Сде­ла­ем так же с ци­лин­дром. «Раз­ре­жем» его бо­ко­вую по­верх­ность вдоль любой об­ра­зу­ю­щей, на­при­мер . (См. Рис. 5.)

Рис. 6. Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти

Те­перь «раз­мо­та­ем» бо­ко­вую по­верх­ность на плос­кость. По­лу­ча­ем пря­мо­уголь­ник , где и  – одна и та же точка на ци­лин­дре (ана­ло­гич­но и ). (См. Рис. 6.)

Такой пря­мо­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся раз­верт­кой бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Рис. 7. Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти

Что мы знаем про этот пря­мо­уголь­ник? Его сто­ро­на  равна вы­со­те ци­лин­дра (ведь об­ра­зу­ю­щая равна вы­со­те). Дру­гая сто­ро­на  равна длине окруж­но­сти ос­но­ва­ния, то есть . (См. Рис. 7.)

Зна­чит, пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна . Итак, , где  – ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра,  – вы­со­та.

 Площадь полной поверхности цилиндра

На­ря­ду с пло­ща­дью бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти и пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти. Для этого к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти надо при­ба­вить пло­ща­ди ос­но­ва­ний. Но каж­дое ос­но­ва­ние – это круг ра­ди­у­са , чья пло­щадь по фор­му­ле равна .

Окон­ча­тель­но, имеем:

,  где  – ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра,  – вы­со­та.

 Примеры задач на применение выведенных формул

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1

При­мер 1. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна . Найти пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра. (См. Рис. 8.)

Ре­ше­ние. Как мы знаем, , а . Зна­чит .

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

Ответ: .

При­мер 2. Вы­со­та ци­лин­дра на 12 см боль­ше его ра­ди­у­са, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна . Найти ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­ту. (См. Рис. 9.)

Ре­ше­ние. По фор­му­ле имеем:  

По усло­вию, , имеем:

.

Так как ра­ди­ус по­ло­жи­те­лен, то 

Ответ:.

 Заключение

Итак, се­год­ня мы по­зна­ко­ми­лись с фор­му­лой бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра и фор­му­лой пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра, также ре­ши­ли пару задач на эти фор­му­лы.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/ploschad-bokovoy-i-polnoy-poverhnosti-tsilindra

http://www.youtube.com/watch?v=4hpihC9KPGE

http://www.youtube.com/watch?v=eLv-lSek-60

http://www.youtube.com/watch?v=5XMNxB4o9kg

http://www.youtube.com/watch?v=JDa_0HbuW8I

http://v.5klass.net/zip/98ab14bb91cc0b78af34fa2cd5c37558.zip

http://u.5klass.net/zip/f316dc564d85cae2d3709209840bc5b0.zip

http://v.5klass.net/zip/060b277becf64c0acca3e76820834929.zip

http://1.bp.blogspot.com/-9N8xpfP3SOw/T1TOzXinW2I/AAAAAAAAA9Q/fEXKxGBY99I/s1600/Geom_1.jpg

http://v.5klass.net/zip/98ab14bb91cc0b78af34fa2cd5c37558.zip

http://all-biography.ru/geometriya/ploshhad-poverhnosti-cilindra-formula

Файлы