11 класс. Геометрия. Тела вращения. Сфера и шар.

Проверка знаний. Сфера и шар. Тест.

1 2 3 4 5

Шар — это тело правильно геометрической формы, ...

Ограниченное поверхностью шара.
Ограниченное плоскостью.
Ограниченное двумя плоскостями.

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Сфера и шар. Тест.

Комментарии преподавателя

Задача №1

Условие: шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 и 2

Дано:

Решение:

(рис. 1. – центр шара, – центр круга, который является сечением). Пусть – произвольная точка на окружности сечения. – радиус шара.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

, тогда ;

Площадь сечения равна:

Ответ: площадь сечения равна .

Задача №2

Условие: расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 2 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 16 см2. Найти радиус этого шара.

Дано:

см2

Решение:

Смотри рис. 1.

(рис. 1. – центр шара, – центр круга, который является сечением).

Пусть – произвольная точка на окружности сечения.

– радиус шара, – радиус сечения.

Площадь сечения равна:

, тогда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

, тогда

.

Ответ: радиус шара равен см.

Задача №3

Условие. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости , если , , (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Зная радиус сферы, нужно найти расстояние от центра до плоскости. Для этого достаточно найти радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью. Тогда из прямоугольного треугольника ( – центр сферы, – центр окружности сечения, – точка на этой окружности) мы сможем найти искомое расстояние.

Найдем радиус окружности сечения. Она является вписанной для треугольника . Воспользуемся формулой: . Тогда ;

– полупериметр.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

.

Соответственно:

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости.

Искомое расстояние – это катет треугольника с гипотенузой 5 и другим катетом 4. Тогда легко показать, что .

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости равно 3 см.

Задача №4

Условие. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.


Рис. 3. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 4. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Решение. Рассмотрим сечение сферы плоскостью ромба. Это окружность, которая вписана в ромб. Найдем ее радиус (рис. 3).

Очевидно, это будет половина высоты ромба. То есть это высота прямоугольного треугольника с катетами 10 и 7,5. По теореме Пифагора гипотенуза, то есть сторона ромба, равна

Тогда высота треугольника (рис. 4) равна .

По теореме Пифагора найдем искомое расстояние от центра до плоскости (рис. 5). Имеем треугольник, подобный «египетскому» треугольнику, то есть недостающий катет его равен 8.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см.

Задача №5

Условие. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.


Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5	Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5	Рис. 8. Иллюстрация к задаче 5

Решение. Пусть центр сферы – точка , точка касания – точка , а данная точка – . Тогда , (рис. 6).

Пусть пересекает сферу в точке . Тогда точка – искомая точка (рис. 7). Докажем, что оно наименьшее.

Пусть точка (отличная от ) (рис. 8) на сфере такова, что . Тогда . Но по неравенству треугольника. Значит, – искомое.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

Тогда .

Ответ: расстояние равно 1 см.

Более сложная задача

Условие. Через точку сферы радиуса провели две плоскости, одна из которых касается сферы, а другая наклонена к первой под углом . Найти длину окружности сечения сферы второй плоскостью (рис. 9).


Рис. 9. Иллюстрация к задаче	Рис. 10. Иллюстрация к задаче	Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение. Очевидно, нужно найти радиус искомого сечения. Пусть – центр сферы, – точка, через которую провели две плоскости, – центр окружности сечения (рис. 10).

Заметим, что угол равен 90 градусам. Действительно, по теореме перпендикулярен касательной плоскости, а значит, и любой прямой в данной плоскости, в частности прямой (рис. 11).