11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

Комбинации геометрических тел.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Комбинации геометрических тел.

Комментарии преподавателя

Разветвление: доказательство

Конус вписан в пирамиду (или пирамида описана около конуса), если у них совпадают вершины, а основание конуса вписано в основание пирамиды (рис. 1).


Рис. 1. Конус, вписанный в пирамиду	Рис. 2. Конус, вписанный в пирамиду	Рис. 3. Конус, вписанный в пирамиду

Высоты конуса и пирамиды совпадают (рис. 2).

Образующие конуса, проведенные в точки касания окружности и многоугольника основания пирамиды, лежат в боковых гранях пирамиды. Более того, несложно показать, что это будут апофемы боковых граней.

Доказательство

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Конус вписан в пирамиду, пусть – общая вершина, – центр основания, – точка касания основания конуса и стороны основания пирамиды. Покажем, что – апофема соответствующей грани (рис. 4).

Заметим, что – проекция на плоскость основания. Кроме этого, , так как радиус перпендикулярен касательной. Значит, в силу теоремы о трех перпендикулярах, , что и требовалось доказать.

Условия, при которых конус можно вписать в пирамиду

Для того чтобы вписать конус в пирамиду, нужно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность.

Вершина конуса проектируется в центр своего основания. Так как она должна совпасть с вершиной пирамиды, то вершина пирамиды должна проектироваться в центр вписанной в основание окружности.

Соответственно, конус всегда можно вписать в правильную пирамиду.

Докажем, что если все апофемы в пирамиде равны, то в пирамиду можно вписать конус (рис. 5).

Доказательство


Рис. 5. Конус, вписанный в пирамиду	Рис. 6. Иллюстрация к доказательству	Рис. 7. Иллюстрация к доказательству

Пусть высота пирамиды – . Раз все апофемы , , … равны, то треугольники , , … равны по гипотенузе и катету (рис. 6).

Тогда отрезки , и т. д. также равны (рис. 7). Из этого следует, что – центр окружности, вписанной в основание. Кроме того, по построению вершина проектируется в этот центр. А значит, конус можно вписать в пирамиду.

Можно рассмотреть и такую формулировку: если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то в пирамиду можно вписать конус (рис. 8). Доказывается это аналогично через равенство все тех же треугольников.

Рис. 8. Конус, вписанный в пирамиду

Задача №1

Условие. Дана правильная 4-угольная пирамида, все ребра которой равны 2. Можно ли в нее вписать конус? Если да, то найти площадь боковой поверхности этого конуса (рис. 9).


Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1	Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1	Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

Решение. Заметим, что основанием правильной 4-угольной пирамиды является квадрат, а в него можно вписать окружность. Кроме того, вершина проектируется в центр квадрата. Значит, в данную пирамиду можно вписать конус (рис. 10).

Найдем площадь боковой поверхности конуса по формуле, . Необходимо найти радиус основания конуса () и его образующую () (рис. 11).

Заметим, что радиус основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в квадрат со стороной 2. Очевидно, он равен половине стороны квадрата – 1.

Образующая конуса равна апофеме боковой грани. Это высота равностороннего треугольника со стороной 2. По теореме Пифагора . Значит, площадь боковой поверхности конуса равна: .

Ответ: .

Конус, описанный около пирамиды

Рис. 12. Конус, описанный вокруг пирамиды

Рис. 13. Конус, описанный вокруг пирамиды

Говорят, что конус можно описать около пирамиды (или пирамиду вписать в конус), если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса (рис. 12).

Очевидно, что боковые ребра пирамиды будут равны образующей конуса, то есть равны между собой. И, как и в первом случае, высоты фигур совпадут (рис. 13).

Условия, при которых конус можно описать около пирамиды


Рис. 14. Конус, описанный около треугольной пирамиды	Рис. 15. Конус, описанный около правильной пятиугольной пирамиды

Для того чтобы описать конус около пирамиды, нужно, чтобы основание пирамиды можно было вписать в окружность. Кроме того, вершина конуса проектируется в центр своего основания. Так как она должна совпасть с вершиной пирамиды, то вершина пирамиды должна проектироваться в центр вписанной в основание окружности, что для правильной пирамиды верно всегда (рис. 14, 15).

Вывод: высоты у конуса и вписанной в него пирамиды совпадут.

Эквивалентные формулировки

Если все боковые ребра в пирамиде равны (рис. 16) либо если они равнонаклонены (рис. 17) к плоскости основания, то пирамиду можно вписать в конус.


Рис. 16. Конус, описанный около пирамиды	Рис. 17. Конус, описанный около пирамиды

Доказывается это абсолютно аналогично случаю вписанного конуса, только прямоугольные треугольники в качестве гипотенуз будут иметь не апофемы, а боковые ребра.

Задача №2

Условие. Дана треугольная пирамида, вписанная в конус. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Образующая конуса равна 13. Найти высоту конуса и площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Заметим, что высота конуса ищется через радиус конуса и его образующую. А радиус конуса равен радиусу окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды.

Так как этот треугольник имеет стороны 6, 8 и 10, то по обратной теореме Пифагора он прямоугольный.

Обратите внимание: треугольник оказался прямоугольным. А что делать, если бы числа были другими? Тогда работает формула . Стороны известны, а площадь можно найти по формуле Герона.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть 5. Тогда из прямоугольного треугольника находим высоту конуса: .

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Заметим, что каждая ее грань – треугольник, боковые стороны которого равны 13, а основания – 6, 8 и 10 соответственно. Найдем высоты в гранях, проведя их и воспользовавшись теоремой Пифагора. Затем через них найдем площади и все сложим.

;

Итого, .

Ответ: .

Задача №3

Условие. Дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция (). Известно, что в пирамиду можно вписать конус и около пирамиды можно описать конус. Основания трапеции равны 2 и 8, высота пирамиды равна 1. Найти образующие обоих конусов (рис. 18).


Рис. 18. Иллюстрация к задаче 3	Рис. 19. Трапеция

Решение. Так как можно вписать и описать, то трапеция вписанная (равнобедренная) и описанная (сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть 10). Тогда боковые стороны равны по 5, а высота равна 4 по теореме Пифагора. Значит, радиус вписанной окружности равен 2. Отсюда образующая вписанного конуса равна .

Далее найдем радиус описанной окружности. Рассмотрим треугольник (рис. 19). Его стороны: ; . Высота , тогда .

Тогда . Заметим, что это и есть радиус окружности, описанной около трапеции. Таким образом, радиус описанного конуса равен а значит, его образующая равна .