11 класс. Геометрия. Объемы тел.
11 класс. Геометрия. Объемы тел.
Комментарии преподавателя
Общие сведения о прямоугольном параллелепипеде
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Рис. 1. Прямой параллелепипед
На рис. 1 изображен прямой параллелепипед 
(сокращённо обозначается 
). 
и 
– прямоугольники (основания параллелепипеда). Рёбра 
перпендикулярны основаниям.
Прямой параллелепипед похож на вытянутый или сжатый куб, поэтому объём его найдём сравнением с эталоном, кубом, сторона которого равна 1 мм (1 см, 1 м и т.д.). Для этого используем задачу 1.
Задача 1 (вычисление объёма куба)
Найти объём V куба со стороной 
, где n – любое натуральное число (
).
Решение
Найти объём – это значит сравнить его с эталоном. Эталон – единичный куб.
Для того чтобы найти объём нужного нам куба, следует:
1. Каждое ребро эталона разбить на n равных частей.
2. Через точки разбиения провести плоскости перпендикулярные ребру.
3. Эталон разобьется на одинаковые кубики, их число 
, а длина ребра каждого из них равна (рис. 2).
Единичный объём (эталона) равен 
, где – число кубиков, V – объём каждого кубика, то есть искомый объём.
Рис. 2. Иллюстрация к задаче №1
Ответ:
.
Свойства объёмов и теорема об объёме прямоугольного параллелепипеда
В задаче 1 мы использовали свойства объёмов.
1. Равные тела имеют равные объёмы (таковыми в задаче являются все штук кубиков).
2. Если тело можно разбить на несколько тел, то его объём равен сумме объёмов составляющих тел (
, гдеV – объём каждого кубика).
Теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (высота , длина, ширина).
Доказательство этой теоремы проведём в задаче 2.
Задача 2 (доказательство теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда, 1-ый случай) и разъясняющий пример
случай) и разъясняющий пример
Дано: – прямоугольный параллелепипед, – прямоугольник, 
(рис. 3).
Доказать: 
.
Доказательство
Рис. 3. Иллюстрация к задаче №2
Для доказательства нужно разбить параллелепипед на малые кубы с ребром . Необходимо найти n.
Пусть a, b, c – конечные десятичные дроби, количество цифр после запятой у них не превосходит n (
). Тогда 
– натуральные числа.
Разобьём каждое ребро (a, b, c) на равные отрезки (рис. 4). Длина каждого отрезка будет равна: 
.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче №2
Через концы этих отрезков проведём плоскости, перпендикулярные рёбрам. Параллелепипед разобьется на малые кубики с длиной ребра 
. Количество таких кубиков будет равно: 
.
Объём каждого из этих кубиков равен 
.
Следовательно, объём всего параллелепипеда будет равен 
.
Что и требовалось доказать.
Разъясняющий пример
; 
; 
(рис. 3)
Количество знаков после запятой у числа a равно 2, у числа b – 1, у числа c – 0, то есть оно не превышает 2 (
).
Каждое ребро разбивается на равные отрезки длиной:
Длина отрезков равна 
, а длина всего ребра a равна 0,03, следовательно, ребро a делится на три отрезка. Длина – делится на 10 отрезков, длина – делится на 100 отрезков.
Параллелепипед разбиваем на малые кубики с длиной ребра . Количество таких кубиков равно 3000 (
).
Объём каждого из этих кубиков равен 
.
Следовательно, объём всего параллелепипеда будет равен 
.
А по теореме объём равен 
.
Мы повторили доказательство на конкретных цифрах.
Задача 2 (доказательство теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда, 2-ой случай)
Пусть хотя бы одно из измерений a, b, c – бесконечная десятичная дробь. Зафиксируем n знаков после запятой, а остальные цифры, начиная с 
-й, отбросим. Получим 
– приближения a,b,c по недостатку.
; 
; 
– приближения по избытку
Перемножим эти неравенства: 
.
То есть 
, где 
, 
– объёмы параллелепипедов с измерениями и 
Рис. 5. Иллюстрация к задаче №2
Параллелепипед Р (с измерениями a, b, c) содержит в себе параллелепипед
(с измерениями
), а сам содержится в параллелепипеде 
(с измерениями ) (рис. 5): 
.
При неограниченном увеличении n (
) стремится к 0 (
).
Тогда 
Следовательно, 
.
Поэтому 
.
Что и требовалось доказать.
Следствия из теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда
Из доказанной теоремы вытекают следствия.
1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту 
.
Доказательство
На рис. 6 изображён прямоугольный параллелепипед. В основании лежит прямоугольник, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, следовательно, является высотой. Из основной теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда .
Площадь основания – это площадь прямоугольника ABCD.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче №2
Боковое ребро c прямоугольного параллелепипеда является его высотой h: 
.
Следовательно, 
.
Что и требовалось доказать.
2. Объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту призмы 
.
Доказательство
Рис. 7. Иллюстрация к задаче №2
На рис. 7 изображена прямая призма. Угол 
в 
прямой, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Эта призма является частью прямоугольного параллелепипеда 
. Дополняем призму до параллелепипеда (рис. 8).
Рис. 8. Иллюстрация к задаче №2
Объём этого параллелепипеда равен 
, где 
– площадь основания параллелепипеда, h – высота параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед состоит из двух равных призм с основаниями 
, поэтому объём этого параллелепипеда также можно найти путём сложения объёмов двух призм: 
.
Отсюда объём призмы равен 
.
Что и требовалось доказать.
Задача 3 (вычисление объёма призмы)
Дано:
– прямая треугольная призма (рис. 9), 
, 
, 
, 
, медиана в 
.
Найти:V – объём призмы.
Решение
Рис. 9. Иллюстрация к задаче №3
1. Рассмотрим треугольник ABC. В нём медиана , следовательно, прямоугольный, 
. ( состоит из двух равнобедренных треугольников, углы 
– углы при основании этих треугольников (рис. 10). Сумма углов равна 
.
Следовательно, .
Рис. 10. Иллюстрация к задаче №3
2. Так как прямоугольный, то – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Следовательно, объём данной призмы равен 
.
, так как призма прямая.
Ответ: 
.
[00:25:6/ Разветвление: Задача об удвоении куба]
Согласно античной легенде, жителям острова Делос потребовалось удвоить объём куба. Эту задачу можно решить аналитически.
Пусть a – ребро старого куба, тогда его объём равен 
.
Объём получившегося в результате удвоения куба равен 
, где x – ребро нового куба.
Возникает проблема построения отрезка длиной 
с помощью линейки и циркуля, поэтому античным ученым это сделать не удалось. В 1837 году учёный Ванцель доказал, что циркулем и линейкой такое построение невозможно.
Мы знаем формулу для объёма прямоугольного параллелепипеда и его частного случая, куба 
, поэтому легко получили результат: чтобы удвоить объём куба с ребром a, нужно построить куб с ребром 
. Получили иррациональное число, но для него есть рациональные приближения.
Вспомним задачи, которые невозможно решить с помощью линейки и циркуля:
1. об удвоении куба;
2. о квадратуре круга. Задача заключается в построении квадрата равновеликого кругу, то есть площадь искомого квадрата должна быть равной площади круга (рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к задаче №3
3. о трисекции угла. Задача заключается в рассечении произвольного угла на три равных угла (в частных случаях задача решаема) (рис. 12).
Рис. 12. Иллюстрация к задаче №3
Подведение итогов урока
На данном уроке мы доказали важную теорему об объёме прямоугольного параллелепипеда и рассмотрели следствия из этой теоремы.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-yom-pryamougolnogo-parallelepipeda-tarasov-v-a
http://www.youtube.com/watch?v=GLQhT5s_i0A
http://www.openclass.ru/sites/default/files/lesson/2010/11/_ppt_14879.ppt
https://doc-10-5o-docs.googleusercontent.com/docs/securesc/ha0ro937gcuc7l7deffksulhg5h7mbp1/i6gmrbmn9qiod7296l4bhv8mp7bl4eqb/1450944000000/00003799992315179431/*/0BxqddV5TBhEkTERBTndOTngtOFE?e=download
http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img7.jpg
https://yandex.ru/images/search?p=5&text=%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5%20%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC%D0%B0.%20%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0.&img_url=http%3A%2F%2Fxn----7sbbnwe7bpcl4i.xn--p1ai%2Fmedia%2Fkunena%2Fattachments%2F64%2FObjomprjamogoparallelepipeda1.png&pos=167&rpt=simage&_=1450952675462
https://www.youtube.com/watch?v=GLQhT5s_i0A