11 класс. Геометрия. Объемы тел.

Комментарии преподавателя

 

 1.Задача 1

Найти объем ци­лин­дра, диа­метр ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен его вы­со­те, а пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна . (См. рис. 1.)

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние. Это пря­мо­уголь­ник, его сто­ро­ны – диа­метр и вы­со­та. (См. рис. 2.)

Зна­чит, это квад­рат (по усло­вию), а тогда . От­сю­да , , а тогда объем равен: .

Ответ: .

 2. Задача 2

 

Найти объем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы  (см. рис. 3), если ; ; , а наи­боль­шая из пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней равна .

Ре­ше­ние. Для на­хож­де­ния объ­е­ма нужно найти пло­щадь ос­но­ва­ния и вы­со­ту. Пло­щадь ос­но­ва­ния ищет­ся сразу (см. рис. 4):

.

Даль­ше за­ме­тим, что пло­щадь каж­дой бо­ко­вой грани равна про­из­ве­де­нию сто­ро­ны ос­но­ва­ния на вы­со­ту. (См. рис. 5.)

Зна­чит, наи­боль­шая пло­щадь будет, когда сто­ро­на ос­но­ва­ния наи­боль­шая. Оче­вид­но, это сто­ро­на , ко­то­рая лежит про­тив ту­по­го угла. (См. рис. 6.)

Най­дем ее по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

А тогда вы­со­та приз­мы равна: .

Окон­ча­тель­но, 

Ответ: 

 3. Задача 3

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми  и . Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объ­е­мы приз­мы и ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы. (См. рис. 7.)

 

Ре­ше­ние. Объем приз­мы на­хо­дит­ся сразу (см. рис. 8).

 

.

Для того чтобы найти объем ци­лин­дра, необ­хо­ди­мо знать ра­ди­ус его ос­но­ва­ния. Если ци­линдр опи­сан около приз­мы, то его ра­ди­у­сом будет ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около ос­но­ва­ния приз­мы. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, тогда ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около него, будет равен по­ло­вине ги­по­те­ну­зы.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за ос­но­ва­ния , а тогда ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен  – это и есть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Вы­со­та у него такая же, как и у приз­мы.

Имеем: .

Ответ: .

 4. Задача 4

Какое ко­ли­че­ство нефти в тон­нах вме­ща­ет ци­лин­дри­че­ская ци­стер­на диа­мет­ром  м и вы­со­той  м (см. рис. 9), если плот­ность нефти равна ? Округ­ли­те  до , а сам ответ – до тонн.

Ре­ше­ние. Нам нужно найти массу. Из курса фи­зи­ки . Зна­чит, нужно найти объем. По усло­вию,  и , тогда .

Имеем: .

Те­перь пе­ре­ве­дем плот­ность из  в более удоб­ные еди­ни­цы , т. к. объем ци­стер­ны мы по­лу­чи­ли в : .

Тогда  т.

Под­став­ляя , по­лу­ча­ем: .

Ответ: .

 5. Задача 5

 

Най­ди­те объем  части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке (см. рис. 10). В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Спер­ва най­дем объем ци­лин­дра, если бы он был «целым». (См. рис. 11.)

Его вы­со­та равна . Тогда .

Далее вы­ре­за­на по­ло­ви­на ма­ло­го ци­лин­дра с вы­со­той . Можно найти его объем по фор­му­ле, а можно за­ме­тить, что объем ма­ло­го ци­лин­дра в  раза мень­ше объ­е­ма боль­шо­го, так как ос­но­ва­ния оди­на­ко­вы, а вы­со­та в  раза мень­ше. Но тогда вы­ре­за­на  часть боль­шо­го ци­лин­дра  (см. рис. 12).

А зна­чит, оста­лось  боль­шо­го ци­лин­дра. То есть, объем ис­ко­мой фи­гу­ры равен:

Тогда .

Ответ: .

Задача № 1.Комбинация призмы и цилиндра

Условие: пусть в цилиндр вписана правильная треугольная призма. Необходимо определить отношение объёма призмы к объёму цилиндра (табл. 1).

Таблица 1. Комбинация призмы и цилиндра

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано:         Найти:  = ?

Решение:

1. Так как объём призмы и объём цилиндра вычисляется по формуле «площадь основания на высоту», а по условию задачи высота призмы и высота цилиндра одинаковы и равны h, то можно не делать пространственный чертёж, поэтому нарисуем только основание цилиндра и основание призмы  (табл. 1). Также обозначим сторону  за а, и  – радиус цилиндра за r. Таким образом, объём призмы – это площадь треугольника , умноженная на высоту.

2. Поскольку призма правильная – в основании лежит правильный треугольник – значит, объём призмы равен:

 

3. Объём цилиндра вычисляется по формуле:

4. Между а и r есть связь, поскольку r – это радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника  и по формуле радиус равен:

Тогда а равно:

5. Напишем отношение объёма призмы к объёму цилиндра и подставим вместо а полученное ранее значение:

Задача № 2. Восьмиугольная призма и цилиндр

Условие: пусть в цилиндр вписана правильная восьмиугольная призма, необходимо найти отношение объёма призмы к объёму цилиндра (табл. 2).

Таблица 2. Восьмиугольная призма и цилиндр

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано:           Найти:  = ?

Решение: 1. Вычислим , для этого разделим градусную меру всей окружности на суму сторон: 

2. Зная угол α, запишем формулы для вычисления объёма:

Поскольку необходимо рассчитать отношение объёмов, то площадь восьмиугольника правильнее будет выразить через радиус. Так, площадь основания призмы – это восемь площадей :

,

где  из прямоугольного треугольника – это гипотенуза на косинус прилежащего угла (), a  – это .

Вычислим площадь основания призмы:

3. Подставляя в формулу для отношения объёмов найденные величины, получим:

 

Задача № 3.Треугольная прямая призма и цилиндр

Условие: пусть в цилиндр вписана треугольная прямая призма, основанием которой является прямоугольный треугольник , у которого известен катет и прилежащий угол α (табл. 3).

Таблица 3. Треугольная прямая призма и цилиндр 

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано:           Найти: Vцилиндра = ?

Решение: 1. Если призма вписана в цилиндр и известна высота призмы, значит, известна и высота цилиндра:

2. Поскольку в основании призмы прямоугольный треугольник, это значит, что точка  – центр основания цилиндра – лежит на середине гипотенузы . Значит, радиус цилиндра равен половине . Саму гипотенузу  можно найти из прямоугольного треугольника :

3. В формулу для определения объёма цилиндра подставим выражение для радиуса и получим соотношение:

Задача № 4. Цилиндр

Условие: известны координаты центра нижнего основания цилиндра:  и координаты центра верхнего основания: . Значение координат точки, лежащей на окружности у нижнего основания, – . Необходимо вычислить объём цилиндра (табл. 4).

Таблица 4. Цилиндр

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано:         Найти: Vцилиндра = ?

 

Решение:1. Для определения объёма цилиндра необходимо найти значение его цилиндра , которое можно определить по формуле длины расстояния между двумя точками как корень из сумы квадратов разности соответствующих координат:

2. Определим высоту:

3. Рассчитаем, чему равен объём цилиндра:

Задача № 5. n-угольная правильная призма, которая вписана в цилиндр

Условие: дана n-угольная правильная призма, которая вписана в цилиндр. Известно, что n – произвольное целое число. Определить отношение объёма призмы к объёму цилиндра (табл. 5).

Таблица 5. n-угольная правильная призма, которая вписана в цилиндр

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано:       Найти:

Решение: 1. Так как призма вписана в цилиндр, их высоты равны:

2. Независимо от того, какой лежит в основании призмы n-угольник, всегда есть треугольник , у которого есть сторона  – сторона правильного многоугольника в основании призмы, точка  – центр окружности, описанной вокруг этого многоугольника. 

Можем определить угол α:

3. Как вычислить объём призмы, известно, для этого вначале определим площадь основания. Многоугольник основания состоит изnтреугольников , каждый из которых имеет площадь – ½, умноженная на высоту и основание.

4. Записав отношение объёма призмы к объёму цилиндра, подставив соответствующие величины, получим:

Задача № 6.Комбинация двух цилиндров и призмы

Условие: пусть в цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в эту призму вписан цилиндр. Необходимо определить отношение объёмов внешнего цилиндра ко внутреннему (табл. 6).

Таблица 6. Комбинация двух цилиндров и призмы

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано:         Найти:

Решение: 1. Отношение объёма внешнего цилиндра ко внутреннему составляет:

 6. Заключение

Се­год­ня мы ре­ши­ли несколь­ко задач на объ­е­мы ци­лин­дра и пря­мой приз­мы, а также по­вто­ри­ли необ­хо­ди­мые фор­му­лы. В даль­ней­шем у вас не долж­но воз­ни­кать про­блем с по­доб­ны­ми за­да­ча­ми.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/zadachi-na-nahozhdenie-ob-ema-prizmy-i-tsilindra

http://www.youtube.com/watch?v=W4hwQNYaHMc

http://www.youtube.com/watch?v=P7_5qWj2BZM

https://www.youtube.com/watch?v=3x8ZdHm7rUI

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter77/

http://prezentacii.com/uploads/ppt/11-12/Objom-cilindra.rar

http://egemaximum.ru/zadachi-12-cilindr/

http://gdz-matem.ru/11class/332-72-obemy-pryamoy-prizmy-i-cilindra.html

Файлы