11 класс. Геометрия. Объемы тел.

Объем цилиндра, конуса, шара.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Объем цилиндра, конуса, шара.

Комментарии преподавателя

Задача 1 (вычисление объёма шарового сектора)

Найти объём шарового сектора, если известен радиус шара – 75 см, и радиус окружности, лежащей в основании соответствующего шарового сегмента – 60 см (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Дано: r = 60 см; R = 75 см

Найти:

Решение:

1. Введём обозначения:

– радиус основания сегмента

– радиус шара

– высота шарового сегмента

2. Для того чтобы вычислить объём шарового сектора, необходимо знать радиус шара (он нам известен) и высоту сегмента .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём OM – радиус шара, – радиус окружности, а можем найти по теореме Пифагора:

см

3. Найдём высоту сегмента H:

см

4. Подставим в формулу объёма шарового сектора известные величины:

Ответ:

Задача 2 (определение объёма шарового сегмента)

Высота шарового сегмента составляет 0,1 диаметра шара. Определить, какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента.

Дано:

Найти:

Решение:

1. Так как высота H шарового сегмента – это диаметра шара, то:

, где R – радиус шарового сегмента

2. Найдём объём шарового сегмента:

3. Найдём отношение объёма сегмента к объёму шара, то есть узнаем, какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента.

Объём сегмента:

Объём шара:

Отношение объёма сегмента к объёму шара:

Ответ: объём шарового сегмента составляет объёма шара.

Задача 3 (определение объёма шарового сегмента)

В шаре проведена плоскость, которая перпендикулярна диаметру и делит диаметр на два отрезка длиной 6 см и 12 см. Найти объёмы частей, на которые делит плоскость шар.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Дано: см; см

Найти:;

Решение:

На рисунке 2 изображено осевое сечение шара (окружность) и плоскости (DC), AB – диаметр шара.

1. Диаметр шара равен:

см

Следовательно, радиус шара:

см

2. Плоскость разделила шар на два сегмента, найдём объём меньшего с высотой см. Для этого подставим значение высоты сегмента и радиуса шара в формулу объёма шарового сегмента:

3. Объём второго сегмента можно аналогично найти по формуле объёма шарового сегмента или как разность объёма шара и объёма сегмента с высотой см.

Объём шара:

Ответ: ; .

Разветвление: задача 4

В III веке до нашей эры жил великий учёный своих дней – Архимед. Он сделал множество открытий, но, согласно легенде, больше всего он гордился тем, что получил соотношение между объёмом цилиндра и объёмом вписанного в этот цилиндр шара. Согласно этой же легенде, на могиле Архимеда, которая не сохранилась до наших дней, был изображен цилиндр и вписанный в него шар, а также написано соотношение объёмов цилиндра и шара.

В то время это было великое достижение, так как точных формул для нахождения объёмов цилиндра и шара ещё не было.

Найдём это соотношение.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

, где R – радиус цилиндра; r – радиус шара (рис. 3)

, где H – высота цилиндра, так как шар можно вписать только в равносторонний цилиндр.

Объём шара:

Объём цилиндра:

Отношение этих объёмов:

Отношение площадей этих фигур будет таким же. Докажем это. Площадь шара:

Площадь цилиндра

Отношение этих площадей:

Разветвление: задача 5

Диаметр шара, равный 12 см, разделён в отношении 1:3:4. Через точки деления проведены две параллельные плоскости. Найти объём шарового слоя, отсечённого этими плоскостями (рис. 4).