9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
Комментарии преподавателя
Определение вектора, равных векторов, коллинеарных векторов
Вектором 
(или вектором 
) называется направленный отрезок, у которого известны начало и конец (рис. 1).
Рис. 1. Вектор
Рассмотрим, какие два вектора являются равными.
Для этого сначала введем понятие коллинеарных векторов. Коллинеарными называются векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).
||
Рис. 2. Коллинеарные векторы
Векторы и коллинеарные, их направления параллельны: ||. В данном случае векторы противонаправлены.
Итак, когда векторы равные? Тогда, когда они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.
Что означает, что вектор 
? Это означает, что их длины равны 
|и они сонаправлены (рис. 3).
Рис. 3. Сонаправленные векторы
Мы вспомнили, что такое вектор, что такое равные векторы. С векторами без координат мы умеем производить некоторые вычисления, например складывать, вычитать векторы, умножать вектор на число.
Действия с векторами
Предположим, дан вектор и вектор : (рис. 4)
Рис. 4. Векторы а и b
Что называется суммой векторов? Откладываем оба вектора от одной точки, на этих векторах строим параллелограмм, и диагональ параллелограмма является суммой этих векторов.
Это называется построением суммы векторов по правилу параллелограмма (рис. 5).
Рис. 5. Построение суммы векторов по правилу параллелограмма
Вспомним правило треугольника: откладываем вектор и от его конца откладываем вектор . Третья сторона треугольника – это вектор 
, который называется суммой двух векторов + (рис. 6)
Рис. 6. Сумма двух векторов
Теперь вспомним умножение вектора на число. Предположим, у нас есть вектор и нам нужно построить вектор 2.Для этого нужно взять вектор 
и увеличить его длину в 2 раза (рис. 7).
Рис. 7. Умножение векторов
Таким образом, вектор можно растянуть в 2 раза, сжать в 2 раза путем его умножения на некоторое число.
Координаты вектора
Введем понятие координат вектора. Предположим, что у нас есть прямая и на этой прямой есть вектор , тогда любой другой вектор , который расположен на этой прямой или на параллельной прямой, однозначно выражается через вектор (рис. 8).
Рис. 8. Выражение вектора b через вектор а.
Вектор равен вектору , умноженному на некоторое число k. Вектор возьмем за единичный вектор, вектор , который коллинеарен вектору 
однозначно выражается через вектор с помощью некоторого числа k, 
. Следовательно, вектор равен вектору , умноженному на некоторое число k.
Теперь возьмем на плоскости два неколлинеарных вектора (вектор и вектор ). Векторы неколлинеарные, значит, можно с их помощью выразить любой третий вектор. Что это означает? Возьмем вектор 
. Вектор можно однозначно разложить по векторам и . Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы 
. Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, обозначим через ОА1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА (рис. 9).
Рис. 9. Разложение вектора
Применим правило треугольника, которое мы рассмотрели ранее. По этому правилу
коллинеарен , значит, существует число х такое, что 
= х. 
коллинеарен , значит, существует число у такое, что 
, следовательно 
Это означает, что вектор разлагается с помощью чисел х, у по векторам
и . Эти числа называются координатами вектора при его разложении по векторам и .
Докажем, что это разложение вектора ЕДИНСТВЕННО. Предположим противное, что существует другая пара чисел 
, 
таких, что =
+y'.
Вычтем два равенства:
Это равенство выполняется только в том случае, когда 
. Докажем это методом от противного:
Пусть 
, тогда 
Так как разность 
не равна нулю, на нее можно разделить обе части равенства:
= 
, значит векторы и 
коллинеарные (||). Но это противоречит условию. Значит, координаты не могут быть разными и разложение единственно.
Итак, еще раз повторим теорему:
Любой вектор 
однозначно разлагается по неколлинеарным векторам и . Разложение вектора единственно, это означает, что существует единственная пара чисел х и у таких, что
. Эти числа и называются координатами вектора 
при разложении по векторам 
.
Координаты вектора в прямоугольной системе координат
Введем прямоугольную систему координат: xOy. Введем единичный вектор 
, который расположен на оси х и единичный вектор 
на оси у. Эти векторы неколлинеарные, они перпендикулярные, значит, любой вектор однозначно разлагается по этим неколлинеарным векторам (рис. 10).
Рис. 10. Разложение вектора
Разложение вектора такое: 
.
Только что мы доказали, что такие числа х, у существуют. Они и являются координатами вектора в прямоугольной системе координат.
Записываются координаты вектора так: либо так: =
Координаты вектора связаны с проекциями вектора на одну и другую оси координат.
Решение задач
С координатами вектора связаны два типа задач:
1. Заданы координаты вектора – построить сам вектор.
2. Дан вектор – найти его координаты.
Рассмотрим некоторые из этих задач:
Задача 1.
Дано: векторы 
Требуется: построить векторы в прямоугольной системе координат.
Решение: строим оси координат х, у, единичный вектор и единичный вектор .
Чтобы построить вектор 
, откладываем 2 единицы вправо по оси х и 0 единиц по оси у, получаем вектор 
.
Чтоб построить вектор 
откладываем 3 единицы влево по оси х и 1 единицу вниз по оси у, получаем вектор 
.
Аналогично строим вектор 
: откладываем 2 единицы вправо по оси х и 4 единицы вверх по оси у, получаем вектор 
(рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к задаче
Ответ: = ;
= ;
= .
Задача 2.
Дано: 
Найти: координаты вектора .
Решение: эта задача обратна предыдущей. Координаты вектора – это коэффициенты разложения
Ответ: 
Задача 3.
Дано: 
Найти: координаты вектора .
Решение: аналогично предыдущей задаче, 
Ответ: 
Следующая группа задач: найдите числа х и у из равенства векторов.
Задача 4.
Дано: 
= 
Найти: х и у.
Решение: х и у – это координаты вектора 
. Один и тот же вектор раскладывается по неколлинеарным векторам единственным образом, отсюда следует, что 
.
Ответ: .
Задача 5.
Дано: 
y
.
Найти: х и у.
Решение: векторы равны, а значит разложение одинаково, то есть 
.
Ответ: .
Задача 6.
Дано: 
Найти: х и у.
Решение: 
, следовательно, 
Ответ:
Заключение
Итак, мы рассмотрели разложение любого вектора по двум неколлинеарным векторам, доказали единственность этого разложения. Ввели координатные векторы
и 
и рассмотрели разложение вектора по этим координатным векторам. Соответствующие коэффициенты этого разложения х, у мы назвали координатами вектора и решили некоторые стандартные задачи с векторами. Далее нам нужно научиться остальные операции с векторами проводить через их координаты.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/koordinaty-vektora
http://www.youtube.com/watch?v=C6sGc4dG7_Y
http://www.youtube.com/watch?v=IFpbV_IHg6A
http://sesc.nsu.ru/letka-kz/attachments/article/3/vector.pdf
http://gdz-matem.ru/9class/28-101-koordinaty-vektora.html
http://www.openclass.ru/sites/default/files/dig_resource/2009/10/_ppt_12148.ppt