9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
Комментарии преподавателя
Действия с векторами (напоминание)
Рис. 1. Векторы
Ранее мы умели складывать векторы (рис. 1) по правилу параллелограмма либо по правилу треугольника.
Например, от одной точки откладываем вектор 
, от его конца откладываем вектор
и от конца 
откладываем вектор 
(рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
В результате получается сумма: (
).
Мы умеем умножать вектор на число.
Если был задан вектор 
то мы умели построить 2, растянув в два раза (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Координаты вектора (напоминание)
Теперь рассмотрим, как это все нужно делать через координаты.
Вспомним, как мы ввели координаты (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Мы доказали теорему, что если есть два неколлинеарных вектора и 
, то любой третий вектор однозначно выражается через эти два вектора (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Это означает, что 
.
Числа х и у единственны для данного вектора.
Далее мы ввели единичные векторы 
и 
(рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к примеру
Тогда вектор 
однозначно раскладывается по координатным векторам 
его координаты, =
Действия с векторами в координатах
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения на число.
Правило 1. Координаты суммы векторов.
Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Дано: 
; 
.
Доказать: 
.
Доказательство:
.
Вектор суммы имеет такие координаты:
Правило 2. Координаты разности векторов.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
.
Доказывается аналогично предыдущему правилу.
Правило 3. Координаты произведения вектора на число.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Действительно, 
Если умножить слева и справа это равенство на k, получим:
значит, 
.
Решение задач
Закрепим рассмотренные правила решением задач.
Задача 1.
Дано: 
; 
; 
; 
.
Найти: координаты вектора 
.
Решение:
Вектор – линейная комбинация векторов 
, 
и 
.
Ответ: 
Задача 2.
Дано: ; ; 
.
Доказать: координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Доказательство:
Векторы и 
коллинеарны – это означает, что вектор можно получить из вектора , умножив его на некоторое число k:
Из равенства векторов следует равенство их координат:
то есть координаты пропорциональны, что и требовалось доказать.
Задача 3.
Дано: 
; 
; 
; 
.
Найти: попарно коллинеарные векторы среди данной группы векторов.
Решение:
Векторы коллинеарные, если их координаты пропорциональны.
Рассмотрим векторы и :
коллинеарны.
Рассмотрим векторы и 
:
и коллинеарны.
Ответ: 
и .
Заключение
Итак, мы рассмотрели действия сложения, вычитания векторов, умножения вектора на число через координаты, вывели соответствующие правила и решили примеры.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo-v-koordinatah
http://www.youtube.com/watch?v=PaC57QKPP2g
http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ