9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

Проверка знаний. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Тест.

1 2 3 4 5

Перенеся начало данного вектора в начало координат (0;0), ...

получаем такой же вектор (с тем же направлением и длиной).
получаем противоположный вектор.
получаем противоположно направленный вектор с удвоенной длиной.

1 2 3 4 5

Проверка знаний. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Тест.

Комментарии преподавателя

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Ранее мы ввели понятие единичных векторов .

По этим единичным векторам любой вектор раскладывается однозначно и имеет координаты:.

Это означает, что вектор является линейной комбинацией векторов :

.

Возьмем точку .

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Вектор называется радиус-вектором точки и в точности равен вектору .

Координаты точки равны соответствующим координатам вектора .

Рассмотрим теперь вектор , у которого началом может быть произвольная точка, отличная от начала координат.

Дано: ,

Найти: координаты вектора .

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Мы уже знаем, как находить координаты вектора с началом в точке . Построим векторы и и найдем их координаты (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Пользуясь предыдущим правилом, утверждаем, что координаты вектора совпадают с координатами точки , а координаты вектора совпадают с координатами точки :

.

Вектор равен разности векторов и :

Правило. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Решение задач

Задача 1.

Дано: координаты точек ;

Найти: координаты векторов

а)

б) .

Решение: начнем с иллюстрации (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

а) : из координат конца вычтем координаты начала:

.

Комментарий: вектор проектируется на ось , длина проекции равна 2, знак минус соответствует знаку проекции. проектируется на ось , длина проекции равна 2, знак плюс.

Ответ:

б) Аналогично получаем координаты : из координат конца вычтем координаты начала:

:

Видно, что вектор противоположен вектору .

Задача 2.

Дано: ; .

Найти: числа

Решение: чтобы получить координаты вектора нужно из координат конца вычесть координаты начала:

С другой стороны, вектор имеет координаты .

В силу теоремы о единственности разложения вектора получаем систему:

Ответ:

Задача 3.

Дано: параллелограмм .

Найти: координаты вершины

Решение: снова начнем с чертежа (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Так как дан параллелограмм, можно построить точку Пусть точка D имеет координаты D(x; y).

параллелограмм, значит,

Чтобы найти координаты и , нужно из координат конца вычесть координаты начала:

Ответ:

Комментарий: эту же задачу можно решить вторым способом, если приравнять векторы и .

Итак, мы рассмотрели, как вычислить координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, проиллюстрировали это правило на примерах. Далее будем использовать это правило при решении других задач на векторы.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/svyaz-mezhdu-koordinatami-vektora-i-koordinatami-ego-nachala-i-kontsa

http://www.youtube.com/watch?v=otNtHn2utJQ

http://www.youtube.com/watch?v=3-bPqJEEOSs

http://5klass.net/datas/geometrija/Geometrija-9-klass/0004-004-Geometrija-9-klass.jpg

http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=348&token=d8c6167a345b642d0476813226bb3336

http://uslide.ru/uploads/files/22/koordinati-vektora-geometriya.ppt

http://u.900igr.net/zip/90865838144a6cb1233d82da53257e3c.zip