9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

Решение задач методом координат.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Решение задач методом координат.

Комментарии преподавателя

Основные сведения о координатах вектора (напоминание)

Любой вектор разлагается по векторам и однозначно:

.

Если известно начало вектора – точка и конец вектора – точка то координаты вектора то есть из координат конца нужно вычесть координаты начала.

Через координаты векторов мы умеем находить их сумму, разность и произведение на число.

Пользуясь всем этим, рассмотрим три опорные задачи:

Координаты середины отрезка

Задача 1. Координаты середины отрезка.

Дано: отрезок АВ; ; ; С – середина АВ.

Найти: координаты точки .

Решение (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Построим векторы , и .

Найдем вектор :

Другим путем:

.

Сложим:

Так как С – середина отрезка и векторы и противонаправлены, то , следовательно .

Найдем координаты вектора

Координаты вектора совпадают с координатами точки , координаты вектора совпадают с координатами точки .

Координаты вектора совпадают с координатами точки , следовательно

Определение длины вектора

Задача 2. Вычисление длины вектора по его координатам.

Дано: вектор

Найти: длину вектора .

Решение (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Задан вектор , отложим его от начала координат, получим вектор с началом в точке и концом в точке .

это проекция на ось ;

это проекция на ось

По теореме Пифагора

Если вектор задан своими координатами, то его длина находится по формуле:

Формула расстояния между точками

Задача 3. Вычисление расстояния между точками.

Дано: точки и .

Найти: расстояние между точками.

Решение (рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим вектор . Из координат конца вычтем координаты начала:

.

Теперь нужно найти длину этого вектора.

Для этого отложим его от начала координат (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Получаем точки и

;

Раз векторы равны, то координаты точки ( равны координатам вектора .

(По формуле, полученной в задаче 2).

Решение задач

Задача 4.

Дано: отрезок , точка и точка середина .

Найти: координаты точки .

Решение (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Каждая координата точки равна полусумме соответствующих координат точек

Находим :

Ответ:

Задача 5.

Дано: .

Найти: расстояние =

Решение (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах

В координатной плоскости любой вектор однозначно разлагается по векторам и

Числа определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат (рис. 1).

Рис. 1. Координаты вектора

Если есть точка , то вектор с началом в начале координат, который называется радиус-вектором точки , имеет те же самые координаты: .

Основываясь на этом, мы рассмотрели 3 стандартные задачи:

Определение координат середины отрезка по координатам концов отрезка и

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Определение длины вектора с координатами .

Определение длины отрезка по координатам концов и .

Теперь применим эти сведения для решения задач.

Решение задач с использованием метода координат

Задача 1.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Дан треугольник с вершинами . Найти медиану .

Дано:

;

Найти: .

Решение:

Найдем координаты точки как середины отрезка ВС:

Найдем длину отрезка :

.

Ответ: .

Задача 2.

Вершина параллелограмма лежит на положительной полуоси , вершина имеет координаты ; . Найти координаты точки сторону диагональ .

Решение:

Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Так как , то координаты точки . Пусть координаты точки .

Так как параллелограмм, то ;

Координаты равны, следовательно,

Итак, ;

так как вектор имеет те же координаты, что и точка .

так как координаты вектора совпадают с координатами точки

Ответ: ;

Задача 3.

Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Дано:

;

.

Найти: периметр .

Решение:

Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.

Найдем длину :

Найдем периметр:

Ответ:

Заключение

Итак, мы рассмотрели три простейшие опорные задачи и применили их для решения конкретных примеров.

Мы сделали обзор сведений о координатах, о простейших задачах и применили эти сведения для решения конкретных геометрических задач

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/prosteyshie-zadachi-v-koordinatah

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/primenenie-metoda-koordinat-v-reshenii-prosteyshih-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=n5MXleghUhQ

http://www.youtube.com/watch?v=mwfriFJNFkM

http://www.youtube.com/watch?v=sdpkQaLqbvg

http://kafedra1428.narod.ru/p3.ppt

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/11/13/prosteyshie_zadachi_v_koordinatakh.ppt

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/13-test-po-geometrii-9-klass-tema-prostejshie-zadachi-v-koordinatakh-variant-2.html

http://gdz-matem.ru/9class/29-102-prosteyshie-zadachi-v-koordinatah.html

http://v.900igr.net/zip/c8e1ee9b0317ce86bfdfd1598c885b5c.zip