9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение прямой.
Комментарии преподавателя
Уравнение прямой
Прямой, к примеру, является серединный перпендикуляр к отрезку. Для задания прямой следует зафиксировать концы отрезка и написать уравнение серединного перпендикуляра, используя тот факт, что серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.
Выведем уравнение прямой – серединного перпендикуляра р к отрезку АВ, 
Рис. 1. Уравнение прямой
Пусть точка М(х;у) – произвольная точка серединного перпендикуляра, тогда она равноудалена от точек А и В (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
это уравнение серединного перпендикуляра.
Если точка 
, то ее координаты удовлетворяют полученному уравнению.
Упростим уравнение – раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Обозначим:
хотя бы одно из чисел a и b не равно 0, так как точки А и В разные.
Тогда уравнение прямой примет вид:
фиксированные числа. Такое уравнение называется общим уравнением прямой.
Частные случаи уравнения прямой
а) Вертикальная прямая (рис. 3).
Рис. 3. Вертикальная прямая
Если через точку 
провести вертикальную прямую, то есть прямую, перпендикулярную оси х, то ее уравнение будет 
. Аналогично, 
и т. д. (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Обратим внимание на последнюю прямую 
. Вся прямая проектируется на ось х в точку 3. На этой прямой много точек, но абсцисса каждой из них равна 3.
Уравнение вертикальной прямой: 
или 
.
Уравнение оси Oy
.
б) Горизонтальная прямая (рис. 5).
Рис. 5. Горизонтальная прямая
Если горизонтальная прямая проходит через точку 
, то ее уравнение 
, любая точка этой прямой имеет ординату 
.
Уравнение горизонтальной прямой 
или 
.
Уравнение оси 
.
Решение задач
Задача 1.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
и 
. Найдите точки пересечения этой прямой с осями координат.
Решение (рис. 6):
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
1. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: 
Прямая проходит через точки А и В, значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:
Это система из двух уравнений с тремя неизвестными, при решении ее будем считать, что с известно.
Подставим в уравнение:
поэтому на с можно сократить: 
2. Находим точки пересечения с осями (рис. 7, 8).
точка 
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
точка 
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Ответ: 
Задача 2.
а) Напишите уравнение прямой CD, проходящей через две данные точки C(2; 5) и D(5; 2) .
б) Найдите площадь треугольника, образованного прямой CD и осями координат.
Решение (рис. 9):
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
а) 
искомое уравнение прямой. Координаты точек C и D подставим в уравнение и получим систему:
б) Находим точки пересечения с осями координат и площадь треугольника (рис. 10):
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Ответ: 
Уравнение наклонной прямой
общее уравнение прямой.
Рассмотрим случай 
Обозначим
и получим уравнение наклонной прямой:
В этом уравнении m – ордината точки пересечения прямой с осью y, k – угловой коэффициент.
Решение задач
Для примера решим вторым способом предыдущую задачу. Напишите уравнение прямой CD, проходящей через две данные точки C(2; 5) и D(5; 2) .
Будем искать уравнение прямой в виде 
, координаты точек C и D удовлетворяют уравнению:
Задача 3.
а) Напишите уравнение прямой MN, где M(0; 1), N(-4; -5).
б) В треугольнике, образованном прямой MN и осями координат, найти длину медианы OD, проведенной из вершины О(0;0).
Решение (рис. 11):
Рис. 11. Иллюстрация к задаче
а) Уравнение прямой будем искать в виде Подставим в уравнение координаты точек M и N:
б) Определим координаты точек пересечения прямой с осями координат: точка M нам известна; координаты точки А определим как координаты точки пересечения с осью Ох из системы (рис. 12):
Рис. 12. Иллюстрация к задаче
Теперь найдем координаты точки D как середины отрезка AM:
и вычислим длину отрезка OD:
Ответ: 
Решим эту же задачу вторым способом. Составим уравнение прямой, проходящей через точки M(0; 1) и N(-4; -5), используя уравнение наклонной прямой в виде . Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:
Задача 4.
Напишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ, где А(-7; 5), В(3; -1) (рис. 13).
Рис. 13. Иллюстрация к задаче
Решение:
В начале этого урока мы вывели уравнение прямой как уравнение серединного перпендикуляра к отрезку, используя то, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от его концов. Если 
, то 
.
Рис. 14. Иллюстрация к задаче
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Ответ:
Заключение
Итак, мы вывели уравнение прямой и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим решать задачи по теме «Уравнение прямой».
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/uravnenie-pryamoy
http://www.youtube.com/watch?v=YUMF-jSOZBk
http://www.youtube.com/watch?v=-0E-5uRworY
http://www.youtube.com/watch?v=zOg4hipjy_c
http://www.youtube.com/watch?v=aWrWel3jDAA
http://www.mathprofi.ru/uravnenie_pryamoi_na_ploskosti.html
http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/forms_of_equation_of_line_on_plane.html
http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm