9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Комментарии преподавателя

 Формулировка, анализ и доказательство теоремы о площади треугольника через синус

Сфор­му­ли­ру­ем, про­ана­ли­зи­ру­ем и до­ка­жем тео­ре­му о пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка.

Тео­ре­ма зву­чит так:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­вине про­из­ве­де­ния двух его сто­рон на синус угла между ними.

За­пи­шем дан­ную тео­ре­му в стан­дарт­ных для тре­уголь­ни­ка обо­зна­че­ни­ях.

Рис. 1. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Фор­му­ла пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка (рис. 1) имеет такой вид:

 

До­ка­жем дан­ную тео­ре­му.

Дано: (рис. 2)

До­ка­зать:

 Доказательство теоремы о площади треугольника через синус координатным методом

До­ка­за­тель­ство:

Любой тре­уголь­ник АВС имеет не менее двух ост­рых углов, так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сов. Пусть ост­ры­ми яв­ля­ют­ся угол  и угол . Тогда вы­со­та АН= на­хо­дит­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка АВС, по­то­му что иначе сумма углов в тре­уголь­ни­ке  (рис. 2) пре­вы­ша­ла бы 180 гра­ду­сов (угол  пря­мой, так как  – вы­со­та; а угол при вер­шине В тупой, так как угол  (по усло­вию).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

По­лу­чи­ли два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка общим ка­те­том АН=. Для на­хож­де­ния дан­но­го ка­те­та мы ис­поль­зу­ем свой­ство сто­рон и углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка: ги­по­те­ну­зу умно­жа­ем на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла:     

 

Под­ста­вим дан­ное зна­че­ние в фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка:

 

По­лу­ча­ем:

 

Мы до­ка­за­ли две фор­му­лы из трёх через ост­рые углы . Если угол α ост­рый, до­ка­за­тель­ство будет ана­ло­гич­ное. Если угол α будет пря­мым, до­ка­за­тель­ство оче­вид­ное (. При  вы­со­та С= на­хо­дит­ся вне тре­уголь­ни­ка АВС (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  . В нём угол . Чтобы найти катет , нужно ги­по­те­ну­зу умно­жить на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла:

 

 

           

Под­став­ля­ем в фор­му­лу для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка  () зна­че­ние ка­те­та :

 

Мы до­ка­за­ли и тре­тью фор­му­лу. Сле­до­ва­тель­но, до­ка­за­ли тео­ре­му.

Также эту тео­ре­му можно до­ка­зать ко­ор­ди­нат­ным ме­то­дом (рис. 4).

Дано: тре­уголь­ник АВС, , 

До­ка­зать:

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны А опре­де­ля­ют­ся через длину АС=b и угол γ. В преды­ду­щих уро­ках мы вы­яс­ни­ли, что ко­ор­ди­на­ты точки А будут . А  – это вы­со­та , то есть ор­ди­на­та точки А.

   

Под­став­ля­ем в фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка:

 

Фор­му­ла до­ка­за­на неза­ви­си­мо от ве­ли­чи­ны углов тре­уголь­ни­ка – за на­ча­ло ко­ор­ди­нат была взята точка С. Осталь­ные 2 фор­му­лы по­лу­ча­ют­ся ана­ло­гич­но, если за на­ча­ло ко­ор­ди­нат взять точку А или В.

По­лу­чен­ные фор­му­лы можно ис­поль­зо­вать во мно­гих за­да­чах.

 Задача 1 - нахождение площади треугольника

Дано: тре­уголь­ник АВС, АВ= см, АС=4 см, ⦟А=(рис. 5)

Найти: пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи вос­поль­зу­ем­ся ранее до­ка­зан­ной тео­ре­мой.

 

Под­став­ля­ем из­вест­ные зна­че­ния:

 

 

 Задача 2-доказательство   формулы площади параллелограмма

До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию двух его смеж­ных сто­рон на синус угла между ними.

До­ка­за­тель­ство:

Для до­ка­за­тель­ства вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Диа­го­наль BD рас­се­ка­ет па­рал­ле­ло­грамм на два тре­уголь­ни­ка.  (рис. 6) по трём рав­ным сто­ро­нам (про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны в па­рал­ле­ло­грам­ме равны, сле­до­ва­тель­но, АВ=CD, AD=BC. Сто­ро­на BD – общая для двух тре­уголь­ни­ков.). От­сю­да сле­ду­ет, что пло­ща­ди этих двух тре­уголь­ни­ков тоже равны.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма

 

Со­глас­но тео­ре­ме о пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

Зна­чит, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

 =

Можно рас­смот­реть и угол В. Он равен , сле­до­ва­тель­но, . По­это­му пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма можно рас­счи­тать через :

 

Фор­му­ла для пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма до­ка­за­на.

 Задача 3-сравнение площадей треугольника

Тре­уголь­ни­ки ADB и ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . До­ка­зать, что пло­ща­ди этих тре­уголь­ни­ков равны.

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Пло­ща­ди пер­во­го и вто­ро­го тре­уголь­ни­ка есть про­из­ве­де­ние по­ло­ви­ны ос­но­ва­ния на вы­со­ту (рис. 7). Ос­но­ва­ние у них оди­на­ко­вое (AD), вы­со­та, опу­щен­ное на это ос­но­ва­ние, также оди­на­ко­вая, сле­до­ва­тель­но:

 

 Задача 4-нахождение стороны треугольника через формулу площади

Дано:, АС15 см, 

Найти: сто­ро­ну АВ (рис. 8)

Ре­ше­ние:

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Най­дём сто­ро­ну АВ через фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

 

Под­став­ля­ем из­вест­ные ве­ли­чи­ны:

 

 см

 

 Задача 5-доказательство  формулы площади параллелограмма через диагонали  (первый способ)

До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­вине про­из­ве­де­ния длин его диа­го­на­лей на синус угла между ними.

Дано: ABCD – па­рал­ле­ло­грамм (рис. 9)

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство: пер­вый спо­соб:

Учтём, что угол α и угол  имеют один и тот же синус:

 

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АОВ (со­глас­но тео­ре­ме о пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка):

 

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВОС: 

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

Так как си­ну­сы равны, то и . Учи­ты­вая, что , а , мы до­ка­за­ли, что диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма делят его на 4 рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка.

По­это­му для на­хож­де­ния пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма до­ста­точ­но найти пло­щадь од­но­го из тре­уголь­ни­ков и умно­жить на 4.

   

Так как , то

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 Задача 5-доказательство  формулы площади параллелограмма через диагонали  (второй  способ)

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Из точки С диа­го­на­ли АС про­во­дим пря­мую CР, па­рал­лель­ную дру­гой диа­го­на­ли (BD). По­лу­ча­ем па­рал­ле­ло­грамм BDPC, тре­уголь­ник ABD рав­но­ве­лик тре­уголь­ни­ку DCP, так как

Ос­но­ва­ния и вы­со­та у них оди­на­ко­вы.

Таким об­ра­зом, от­ни­мая от па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD тре­уголь­ник ABD и при­бав­ляя тре­уголь­ник DCP, по­лу­ча­ем тре­уголь­ник АСР с такой же пло­ща­дью, как у ис­ход­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма. И пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна:

 

 

    

Так как СРBD и  , то

   

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Задача 6-нахождение площади треугольника

Дано: , , вы­со­та ВН=h

Найти: пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС (рис. 11)

Ре­ше­ние:

а)                                                                    б)                                           

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Со­глас­но тео­ре­ме о пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

 

Вы­ра­жа­ем АВ и ВС через h и дру­гие из­вест­ные ве­ли­чи­ны. АВ яв­ля­ет­ся

ги­по­те­ну­зой в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВН, по­это­му:

, при  (рис. 11 а)

, при  (рис. 11 б)

Ана­ло­гич­но на­хо­дим ВС (). В обоих слу­ча­ях:

Под­став­ля­ем дан­ные зна­че­ния в фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка:

 

 Подведение итогов урока

На дан­ном уроке мы до­ка­за­ли тео­ре­му о пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка через синус его

угла и ре­ши­ли за­да­чи по дан­ной теме.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/teorema-o-ploschadi-treugolnika-formuly-dlya-nahozhdeniya-ploschadey-parallelogramma-i-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=mNYZ4x2kAoQ

http://www.youtube.com/watch?v=ITqUvcDJFRY

http://www.youtube.com/watch?v=M5qmp3dMQJs

http://files.kopilkaurokov.ru/download.php?type=kopilka&fileName=user_file_550f0f5843998.pptx&humanName=%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F+%D0%B4%D0%BB%D1%8F+%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0+%22%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0+%D0%BE+%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D0%B8+%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%22+%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F+9+%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81+.pptx

http://scienceland.info/geometry9/area-parallelogram

http://1.bp.blogspot.com/-Cm8kaXhXf00/T1TQ9c1YX7I/AAAAAAAAA_o/rFMTArvgJ5U/s1600/Geom_82.jpg

Файлы