9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Теорема синусов. Формулировка и доказательство.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Теорема синусов. Формулировка и доказательство.

Комментарии преподавателя

Формулировка и доказательство теоремы синусов

Сформулируем, проанализируем и докажем теорему синусов. Теорема звучит так:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Запишем данную теорему формулой в стандартных для треугольника обозначениях (рис. 1).

Рис. 1. Треугольник

Формула для данной теоремы выглядит так (рис. 2):

Докажем данную теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

1.

На b сокращаем, синусы помещаем в знаменатели:

2.

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема доказана.

Формулировка и доказательство следствия из теоремы синусов

Из теоремы синусов вытекает важное следствие.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

,

где R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 2).

Следовательно, мы получили три формулы радиуса описанной окружности:

Но, по существу, весь смысл следствия из теоремы синусов заключён в формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от угла α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства рассмотрим три случая:

1. Угол – острый в треугольнике АВС (рис. 3)

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Проведём диаметр . В этом случае точка А и точка лежат в одной полуплоскости от прямой ВС. Используем теорему о вписанном угле и видим, что . Треугольник прямоугольный, в нём угол равен 90, так как он опирается на диаметр .

Для того чтобы найти катет a в треугольнике , нужно гипотенузу В=2R (R – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла.

Следовательно

В первом случае теорема доказана.

2. Угол – тупой в треугольнике АВС (рис. 4)

Проведём диаметр окружности . Точки А и по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник вписан в окружность, и его свойство таково, что сумма противолежащих углов равна . Следовательно, =.

Вспомним данное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (рис. 4):

=

Также мы знаем, что .

В треугольнике угол при вершине С равен 90, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Следовательно

Во втором случае теорема доказана.

3. Угол (рис. 5)

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона , где R – это радиус описанной окружности. Следовательно:

И в третьем случае теорема доказана.

Повторение теоремы о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и следствия из неё мы видим, что радиус описанной окружности можно найти, зная только одну сторону треугольника и синус противолежащего угла. Но треугольник не задаётся только этими величинами. То есть получается, что треугольник ещё не задан, а мы уже можем найти радиус описанной окружности. Объясним этот факт, повторив теорему о вписанном в окружность угле и следствиях из неё.

Теорема о вписанном угле:

Вписанный в окружность угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

А=α опирается на дугу ВС (рис. 6). Дуга ВС содержит столько градусов, сколько градусов её центральный угол . То есть теорема утверждает:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Следствие 1 из теоремы звучит так:

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

ВАС опирается на дугу ВС (рис. 7). Поэтому

Если мы возьмём точки и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке 7 мы видим множество треугольников, у которых общая одна сторона (СВ) и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, их объединяет то, что радиус описанной окружности у них одинаковый.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Следствие 2 из теоремы о вписанном угле:

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые.

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

ВС – диаметр описанной окружности, следовательно (рис. 8).

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле:

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180.

В этом следствии утверждается, что

Угол А=α опирается на дугу DCB (рис. 9). Поэтому (по теореме о вписанном угле). Угол опирается на дугу DAB. Поэтому . Но так как 2α и 2γ – это вся окружность, то