9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.
9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.
Комментарии преподавателя
Решение треугольников
Здесь мы вспомним основные опорные факты и решим в общем виде три типовые задачи на решение треугольников. Вначале напомним важное определение синуса и косинуса для углов aÎ[0º; 180º].
Имеем окружность, радиус 1, верхняя ее часть – оси координат и угол a. Угол a построен следующим образом, положительная полуось х – один луч этого угла. Второй луч высекает точку М на единичной полуокружности. Координаты точки М (хм;ум) назвали: абсцисса хм – это 
, ордината ум – это 
. Итак, имеем ÐАОМ=aÞМ (хм; ум)= М (;).
Это для любого угла aÎ[0º; 180º], потому что треугольник имеет любой угол в пределах(0º; 180º). Таким образом, мы просто напомнили определение синуса и косинуса для любого угла, который может быть углом треугольника. Отметим важную специфику: значение косинуса однозначно определяет угол треугольника. Поясним это примерами, объясним почему.
Вот линия косинусов. Косинус может меняться в пределах от -1 до 1.
Пример 1
а) Пусть 
.
отметил на линии косинусов, перпендикуляр, получил единственную точку М на окружности. И получил нужный угол, этот угол искомый. Почему он равен 45º? Потому что если это , то и здесь , гипотенуза 1, либо по таблице, либо по этому треугольнику получаем, что имеем угол 45º.
Итак, если при решении задач, мы вдруг увидели 
, мы однозначно определяем, что этот угол равен 45º.
Второй пример.
б) если 
.
Вдруг выяснилось, что 
и a – это угол треугольника, то мы должны сразу получить ответ, что a=135º.
Почему? Во-первых, можно по таблице, а во-вторых, из чертежа. Единичная полуокружность 
на линии косинусов – это абсцисса точки М, перпендикуляр, получаем точку М. А значит, искомый угол АОМ. Гипотенуза 1, катет в этом треугольнике , значит, либо этот угол 45º, а значит, и этот угол 45º. (180º - 45º) = 135º, либо по таблице, раз у нас , то угол равен 135º.
Итак, специфика заключается в том, что значение косинуса однозначно определяет угол треугольника. В отличие от косинуса значение синуса, если он заключен в пределах
определяет два угла треугольник a1 и a2 и сумма этих углов равна 180º:
a1+a2=180º
Поясним сказанное на чертеже. Единичная полуокружность, оси координат, вот значение синуса. Синус, кстати, меняется от0 до 1, вот синус ≠1, перпендикуляр. Получаем две точки на окружности, точку М и точку N. Только две эти точки имеют свои ординаты, вот это значение, которое равно синусу a. Первая точка определяет один угол АОN – назвали a1. Вторая точка определяет угол АОМ – назвали a2. Но имеем еще один угол a2 в силу симметрии, так что a1+a2=180º. Итак, значение синуса определяет два угла, в сумме составляющих 180º. И это углы треугольника, и это очень важно для решения треугольников.
Сделаем конкретный пример.
, то a1=135º.
или a2=45º
Если , то мы имеем два конкретных угла. Если это , то один из углов 135º, вот этот большой угол, второй угол45º. Итак, еще раз: значение косинуса однозначно определяет угол треугольника. Значение синуса не однозначно определяет угол треугольника. Значение синуса, если оно не равно 1, определяет два угла треугольника, сумма которых равняется180º.
Теперь мы знаем, что такое синус и косинус любого, в том числе тупого угла треугольника. Поэтому мы можем определить координаты всех вершин треугольника.
Вот на рисунке остроугольный треугольник и тупоугольный треугольник. Угол g острый, угол g тупой. Во-первых, если мы говорим о координатах, то надо ввести систему координат. Удобно ввести ее следующим образом: начало совместить с одной из вершин, например, с вершиной С. А ось х пустить по прямой СВ. Итак, имеем треугольник АВС. Стандартные обозначения: вершина А, длина стороны – а маленькая; вершина В, длина стороны – в маленькая; вершина С, длина стороны – с маленькая; угол при вершине С=g, стандартное обозначение. Координаты этой точки С – начало координат С(0;0). Координаты этой точки В(а;0), это понятно. И, наконец, координата точки А – это (
).
Это, во-первых, мы выводили в свое время, а во-вторых, можно это посмотреть из треугольника прямоугольного, в которомха – катет равен: гипотенуза умножить на косинус прилежащего угла. Противолежащий катет уа есть гипотенуза, умноженная на синус противолежащего угла. Таким образом, вот координаты всех точек: А(
), В(а;0), С(0;0). По виду они не меняются, если угол g тупой.
По-прежнему, высота вот из этого треугольника или из этого треугольника h=
. Формулы для остальных вершин те же самые.
Итак, если мы знаем, что такое синус и косинус для угла треугольника, то мы можем найти координаты всех его вершин через синус и косинус угла. Зная координаты вершин треугольника, мы в свое время получили формулу для площади через синус угла. Напомним ее.
Откуда взялась эта формула? Вспомним, что площадь, мы давно считали по известной формуле: 
основания на высоту, которая проведена к этому основанию 
. Но высота есть ордината точки А, а ордината точки А (только что мы говорили) – это , т.к. h=, то подставили в формулу для площади и получили результат: .
Итак, площадь треугольника есть половина произведения двух его сторон, длин его сторон, точнее, на синус угла между ними. Далее с помощью этой формулы мы получили теорему синусов. Напомним и ее. Теорема синусов утверждает: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла треугольника есть величина постоянная для данного треугольника, а именно:
.
Напомним также, что вывод мгновенно следует из формулы из площади треугольника
=
=
Важным инструментом при решении треугольников является теорема косинусов. Напомним ее. Вот ∆АВС, сторона а, сторонаb, сторона с. Треугольник помещен в координатную плоскость, оси координат х, у. Координаты каждой вершины мы сейчас умеем находить. Вот координаты вершины А(), это 
– одна координата, абсцисса; - вторая координата, ордината. Через эти координаты мы находим длину АВ, и в результате получили теорему косинусов, которая звучит следующим образом: с2=а2+в2-2ав
. Напомним словесную формулировку: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Это, как мы помним, обобщение теоремы Пифагора. Если бы угол g был прямым, то с была бы гипотенузой, квадрат гипотенузы был бы равен сумме квадратов катетов. Но это для прямоугольного треугольника. Теорема косинусов для любого треугольника. И теорема синусов, и теорема косинусов – это важнейшие инструменты для решения треугольников. Напомним, что означает слово «решение треугольников». Это означает, что следует найти все стороны, все три стороны и все три угла треугольника. Вот одна из типовых задач.
Задача
В ∆АВС даны а, в, g (две стороны и угол между ними). Даны три элемента треугольника. Найти с, a, b, т.е. остальные элементы треугольника. Прокомментируем еще раз условия. Вот ∆АВС, сторона а, длина ее известна. Сторона в, длина ее известна. И величина угла между ними, т.е. три элемента треугольника известны. Надо найти остальные три элемента, т.е. должны быть известны три стороны, длины этих сторон и величины углов.
Решение:
1) с=
2) 
3) b=180º-(a+g).
Вот известен угол g, всегда полезно написать теорему косинусов для противоположной стороны.
1) Написали с2=а2+в2-2ав.
Для того чтобы найти с, надо взять Ö из этого выражения. Таким образом, теорема косинусов мгновенно позволяет найти противолежащую сторону, противолежащую углу g. Нашли. Значит, каким образом найти угол a?
2) Для этого надо написать теорему косинусов для противоположной стороны:
, т.е. написали теорему косинусов для противоположной стороны, получили уравнение для косинуса и нашли косинус. Нашли косинус, а по косинусу угла находим сам угол, причем мы говорили, что угол a в треугольнике однозначно задан, если задан косинус этого угла. Итак, угол a найден.
3) Осталось найти угол b. Сумма трех углов треугольника 180º, значит, угол b – это 180º минус сумма двух уже известных нам углов a и g.
Таким образом, первая стандартная задача решена. Напомним ее связь с признаком равенства треугольников. Ведь два треугольника равны, если две стороны соответствующие равны и угол между ними равен. То есть две стороны и угол однозначно задают треугольник. Вот они заданы, и получился треугольник. Все остальные элементы этого треугольника мы нашли с помощью теоремы косинусов. Задача решена.
Следующая типовая задача по решению треугольников.
Задача. В ∆АВС известна длина стороны а, величины углов b и g (сторона и два прилежащих к ней угла). Требуется решить треугольник, т.е. найти недостающие элементы, а именно: величину угла a, в, с – длины сторон. Решение. Используем теорему синусов, нам нужно найти длину в:
.
Длина одной стороны найдена по теореме синусов. Далее находим длину третьей стороны по той же теореме синусов: 
. Задача решена.
Треугольник, как мы знаем, задается тремя сторонами. Следующая задача опирается на этот факт.
Задача. В ∆АВС даны длины трех сторон а, в, с. Найти все углы a, b, g. Стандартные обозначения, треугольник поясняет сказанное. Стороны известны, надо найти углы. Решение: по теореме косинусов пишем теорему косинусов для стороны а и находим косинус угла a
1) 
Такова теорема косинусов для угла a для стороны а. Нашли косинус, а по косинусу мы однозначно находим угол a. Аналогично действуем для косинуса b.
2) 
Нашли косинус b, он однозначно задает угол b. Если мы знаем два угла треугольника a и b, то третий угол находим как разность:
3) g=180º-(a+b)
Задача решена.
Рассмотрение причины двух решений в задачах ( на решение треугольников)
Рассмотрим задачу, в которой заданы две стороны треугольника и угол не между ними, в этом случае число решений зависит от конкретных числовых данных.
Число решений может быть два:
предположим, что 
. В треугольнике может быть угол 
или 
(рис. 1)
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Задача 1 (решение треугольника для первого случая)
Дано: треугольник ABC, a = 6, b =8, (рис. 2)
Найти: углы 
, γ; сторону с
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Видим, что 
, следовательно, угол β существует и существует два угла.
Рисунок 3 иллюстрирует наличие двух углов β.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Треугольник ABC (рис. 2) имеет определённый радиус описанной окружности.
По теореме синусов:
Рассмотрим два случая:
1. (рис. 4)
Тогда угол 
:
Следовательно, 
, 
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Далее используем теорему синусов:
Для первого случая треугольник решён.
Ответ: β 
, 
, 
Задача 1 (решение треугольника для второго случая)
(рис. 2)
Тогда угол 
:
Следовательно, 
, 
Ответ: 
, 
, 
Геометрическая иллюстрация решения задачи 1
Задача решена, получены два ответа. Дадим геометрическую интерпретацию ответа.
1. В окружности радиусом R = 6 проведём хорду a = 6, получим две точки B и C, которые являются вершинами искомого треугольника (рис. 5). Этот треугольник вписан в окружность с центром в точке O.
2. Проведём окружность с центром в точке C и радиусом b = 8.
3. Радиус второй окружности – 8, он меньше, чем удвоенный радиус первой окружности. Значит, существуют две точки пересечения (
этих окружностей.
4. Вписанные в окружность углы с вершинами 
одинаковые. 
. 
, так как треугольник BOC правильный (
).
5. Получили два треугольника 
. Это и есть искомые треугольники. В них:
, 
, 
– все заданные значения.
6. В треугольниках найдены точные значения искомых величин:
- треугольник 
: 
, 
, 
;
- треугольник 
, 
, 
.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Четвёртый признак равенства треугольников и его частный случай
Четвёртый признак равенства треугольников и его частный случай
Также можно сделать замечание: угол α = 30
явно не наибольший угол в заданном треугольнике ABC, а из четвёртого признака равенства треугольников знаем, что треугольники равны по двум сторонам и наибольшему углу (этот наибольший угол может находиться не между двумя сторонами). Отсюда частный случай четвёртого признака равенства треугольников: равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе (прямой угол наибольший, он не лежит между катетом и гипотенузой).
[00:17:09 Разветвление: опорные факты из задачи 1]
Из задачи 1 можно выделить важные опорные факты.
1. Теорема о вписанном угле имеет важное следствие:
вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Рис. 6. Иллюстрация к следствию
(рис. 6)
Это означает, что из любой точки дуги 
отрезок BC = а виден под одним и тем же углом (α). Существуют также другие точки, с которых данный отрезок виден под этим же углом. Это точки на дуге 
. Таким образом, объединение этих двух дуг (исключая концы отрезка BC) даёт геометрическое место всех точек, с которых данный отрезок виден под данным углом.
2. Отрезок BC = a и противолежащий угол 
задают семейство треугольников (
). Эти треугольники часто не похожи друг на друга, но они имеют один и тот же элемент – радиус описанной окружности 
.
3. Также у семейства этих треугольников есть ещё один общий элемент – отрезок 
(рис. 7), где точка 
– основание высот, опущенных из вершины B и вершины C. Для того чтобы в этом убедиться, попробуйте решить самостоятельно задачу:
Задан остроугольный треугольник ABC (рис. 7). В нём сторона BC = a, , 
– высоты. Найти длину отрезка . (Указание: докажите подобие треугольников 
и 
).
4. Укажем ещё несколько общих элементов для семейства треугольников :
- AH, где H – ортоцентр (рис. 7);
- 
– радиус окружности, описанной вокруг треугольника 
(рис. 8);
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
– радиус окружности, описанной вокруг треугольника 
(рис. 8);
– радиус окружности, описанной вокруг треугольника 
, где J – точка пересечения биссектрис треугольника ABC(рис. 8.1);
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Рис. 8.1. Иллюстрация к задаче
Данные опорные факты важны тем, что позволяют находить общие элементы у семейства треугольников, то есть решать более сложные задачи.
Завершение урока
Итак, мы повторили основные опорные факты и решили три типовые задачи по решению треугольников, решили более сложную задачу по теме «Решение треугольников» с использованием основных теорем синусов и косинусов и теоремы о площади треугольника.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov-prodolzhenie-1
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov-prodolzhenie-2
http://www.youtube.com/watch?v=KQbokFe6Dxs
http://www.youtube.com/watch?v=0qwOLTuL-8A
http://www.youtube.com/watch?v=YVw2n9Iiz24
http://www.youtube.com/watch?v=uxluor0w8Jk
http://u.5klass.net/zip/5b3c7a48c3df8abd433b4a78d72a8c96.zip
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/34-itogovyj-test-po-teme-sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/35-itogovyj-test-po-teme-sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-variant-2.html
http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2