9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.
9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.
Комментарии преподавателя
Задача 1, определение высоты дерева с помощью дополнительного предмета
Рассмотрим задачу, которая позволит нам понять, откуда появилась необходимость таких терминов, как синус, косинус, тангенс, котангенс угла.
Задача 1
Найти высоту дерева, не залезая на него, и найти расстояние от наблюдателя до вершины дерева (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Наблюдатель может измерить расстояние до дерева (
), измерить угол (
) и, не зная понятия синуса, косинуса, тангенса, может поставить искусственное дерево, высота которого известна. То есть имеем 2 подобных треугольника 
и 
(рис. 2).
Дано:
, 
, 
, 
, (рис. 2)
Найти: 
, 
Решение:
Так как треугольники и подобные, то:
1. 
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Отношение 
зависит только от угла, его назвали тангенсом угла.
То есть величину x можно найти с помощью подобия и с помощью тригонометрии. Тригонометрический способ предпочтительнее, так как при измерении углов и тригонометрических функций точность, как правило, выше.
2. 
Отношение 
назвали косинусом угла
Ответ: ,
В данной задаче мы ввели понятие тангенса и косинуса. Введём также понятия синуса:
, угол α – угол прямоугольного треугольника, следовательно,
.
Повторение основных тригонометрических функций прямоугольного треугольника
Теперь для решения задачи нам не нужен вспомогательный элемент 
, а нужен угол и его функция. То есть функции угла важны для измерительных работ. Повторим эти функции.
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.
Рис. 3. Иллюстрация функций
( рис. 3)
Отсюда следует, что
То есть катет можно найти через гипотенузу. Так же катет можно найти через другой катет. Для этого вспомним определение тангенса и котангенса угла.
Тангенсом угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему.
Котангенсом угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему.
(рис. 3)
Повторение теоремы косинусов и теоремы синусов
Отсюда следует, что
Для прямоугольного треугольника мы повторили основные определения и правила. Вспомним основные сведения, которые используются в измерительных работах, для произвольных треугольников.
Рис. 4. Треугольник
Теорема синусов:
, где R – радиус описанной окружности (рис. 4)
Теорема косинусов:
Задача 2, определение высоты предмета
Измерить высоту дерева и расстояние до его вершины, если точка С (рис. 5) недоступна.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Мы можем измерить 
, угол 
и угол 
.
Дано: 
,
, 
, 
(рис. 5)
Найти: ,
Решение:
Решение следует из произвольного треугольника ABD и прямоугольного треугольника ABC.
Из треугольника ABD:
Угол 
найдём по теореме о внешнем угле (внешний угол равен сумме двух других не смежных с ним углов):
С помощью теоремы синусов получаем:
Из прямоугольного треугольника ABC с помощью теоремы синусов получаем:
Ответ: ,
Задача 3, определение расстояния до недоступной точки
Найти расстояние ACот пункта Aдо недоступного пункта C (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Решение:
Выбираем удобную точку B на местности, замеряем длину AB = c, , 
. Получаем треугольник ABC(рис. 7), в котором известна сторона и два прилежащих угла. В этом треугольнике можно найти любой элемент.
Найдём ACс помощью теоремы синусов:
Так как
,
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
то
Ответ: 
Задача 4, определение высоты башни с помощью тангенса известных углов
Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой он хочет определить. Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину под углом 45°. Какова высота башни?
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
На рисунке 8 к задаче видим, что ABрост наблюдателя, DC = x – искомая высота башни, BH = AC = 50 (по условию задачи расстояние от наблюдателя до башни), 
, 
.
Решение:
Для решения рассмотрим два прямоугольных треугольника:
1. Треугольник CBH. В нём , катет BH = 50 м, следовательно, второй катет:
2. Треугольник BDH. В нём , следовательно, угол 
, поэтому треугольник равнобедренный. DH = BH= 50 м.
м
Ответ: высота башни 
м
Подведение итогов урока
Вывод
На данном уроке мы рассмотрели измерительные работы на местности. Убедились, что они сводятся к нахождению элементов треугольника.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/izmeritelnye-raboty
http://www.youtube.com/watch?v=JI3RUjSZaMM
http://nashashcola.ucoz.com/Teor_sin_i_kos/prezentacija-Teorema_sinusov_i_kosinusov.rar
http://www.bestreferat.ru/referat-308262.html
http://s3.docme.ru/store/data/000555898.ppt?key=c86102b85bf5e28588eb6ebe9d9a57ac&r=1&fn=555898.ppt&t=1451227896160&p=86400
http://x-uni.com/geometriya/9-klass/video/izmeritelnye-raboty
http://festival.1september.ru/articles/418615/