9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

Комментарии преподавателя

 1. Определение угла между векторами

Пусть даны нену­ле­вые век­то­ры  и  .

Опре­де­лить и по­стро­ить угол между век­то­ра­ми.

По­стро­е­ние:

Вы­би­ра­ем про­из­воль­ную точку O и от нее от­кла­ды­ва­ем век­тор  и век­тор . По­лу­чен­ный угол AOB и на­зы­ва­ет­ся углом между век­то­ра­ми.

Есте­ствен­но, воз­ни­ка­ет во­прос: что будет, если взять дру­гую точку?

Вы­бе­рем точку  , от­лич­ную от точки О, от­ло­жим от нее  и .

Углы AOB и   равны как углы с со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми. Зна­чит, угол между век­то­ра­ми не за­ви­сит от вы­бо­ра точки, от ко­то­рой от­кла­ды­ва­ют­ся дан­ные век­то­ра.

Если один из век­то­ров ну­ле­вой, на­при­мер,  , то  .

Итак, мы опре­де­ли­ли угол между век­то­ра­ми и рас­смот­ре­ли его по­стро­е­ние.

 2. Пределы изменения угла между векторами

А в каких пре­де­лах может из­ме­нять­ся угол между век­то­ра­ми? В от­ли­чие от угла между пря­мы­ми, угол между век­то­ра­ми может быть тупым. Про­ил­лю­стри­ру­ем это на при­ме­ре.

При­мер. Дано: p, q – пря­мые;

              

  век­то­ры.

По­стро­ить: угол между век­то­ра­ми  и угол между пря­мы­ми .

По­стро­е­ние: Вы­бе­рем про­из­воль­ную точку О, про­во­дим  и  . От точки О от­кла­ды­ва­ем век­тор  и век­тор  .

 тупой;

стрый.

Угол между век­то­ра­ми может из­ме­нять­ся в сле­ду­ю­щих пре­де­лах: 

Рас­смот­рим неко­то­рые част­ные слу­чаи:

1.  Век­то­ры  и  пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

2. Век­то­ры  и  про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны.

3.   Век­то­ры  и  со­на­прав­ле­ны.

 3. Примеры определения угла между векторами

Рас­смот­рим кон­крет­ные при­ме­ры на­хож­де­ния угла между век­то­ра­ми.

При­мер: Дан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС. Найти:

а)  ;

б)  

в)  .

Ре­ше­ние:

а) Вы­би­ра­ем удоб­ную точку и от нее от­кла­ды­ва­ем век­то­ра. Такая точка у нас уже есть – это точка А.

 по свой­ству углов рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

б)  Вы­би­ра­ем удоб­ную точку, на­при­мер, точку А. от­кла­ды­ва­ем век­тор  , тогда .

в) Угол между пря­мы­ми    как наи­мень­ший из углов, об­ра­зо­ван­ных при пе­ре­се­че­нии этих пря­мых.

Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров на­хож­де­ния углов между век­то­ра­ми в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке АВС.

г)   ;

д)  ;

е)  

ж)  

Ре­ше­ние:

г) Век­то­ры  и  про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, по­это­му 

д) Век­то­ры  и   со­на­прав­ле­ны, 

е) Век­то­ры  и  про­ти­во­на­прав­ле­ны, 

ж) Век­то­ры  и  со­на­прав­ле­ны, 

 4. Напоминание правил сложения векторов и умножения вектора на число

Перед тем, как рас­смот­реть опре­де­ле­ние ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров, на­пом­ним, какие дей­ствия мы уже умеем вы­пол­нять над век­то­ра­ми:

1.  Сло­же­ние век­то­ров.

пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка.

2. Умно­же­ние век­то­ра на число.

Век­тор  со­на­прав­лен век­то­ру  и   Век­тор  про­ти­во­на­прав­лен век­то­ру  и  

 5. Определение скалярного произведения векторов

Ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров на­зы­ва­ет­ся про­из­ве­де­ние их мо­ду­лей на ко­си­нус угла между ними.

По­яс­ним по­ня­тие ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния на фи­зи­че­ском при­ме­ре.

Сила  дей­ству­ет на ва­го­нет­ку, ва­го­нет­ка стоит на рель­сах. Ра­бо­та со­вер­ша­ет­ся не всей силой , а толь­ко ее ча­стью – про­ек­ци­ей на ось  . Эта про­ек­ция равна  , таким об­ра­зом  ра­бо­та опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой 

Итак, ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров – это про­из­ве­де­ние их длин на ко­си­нус угла между ними.

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние – это ха­рак­те­ри­сти­ка вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния век­то­ров.

Рас­смот­рим пер­пен­ди­ку­ляр­ные век­то­ры   и , угол между ними равен  , зна­чит, 

нену­ле­вые век­то­ры.

Мы сфор­му­ли­ро­ва­ли два утвер­жде­ния – пря­мое и об­рат­ное:

1. Пря­мое – если , то  .

2. Об­рат­ное – если  , то  .

 

 6. Решение задач на определение угла между векторами и скалярного произведения векторов

За­да­ча. Диа­го­на­ли квад­ра­та со сто­ро­ной m пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

Найти:

а)   угол между век­то­ра­ми;

б)  ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров:

1.      и   Ре­ше­ние: Из­вест­но, что диа­го­наль квад­ра­та со сто­ро­ной m равна  .

2.    

а)     

б)     

3.                       и  

Ре­ше­ние: 

а)     

б)     

4.                        и  

Ре­ше­ние: 

а)         и    про­ти­во­на­прав­ле­ны, 

б)       

5.      и 

Ре­ше­ние:

а)   Для опре­де­ле­ния угла между век­то­ра­ми нужно найти удоб­ную точку, от ко­то­рой будут от­ло­же­ны век­то­ра, на­при­мер, можно вы­брать точку  D.

б)   

 7. Заключение

Итак, на этом уроке были рас­смот­ре­ны угол между век­то­ра­ми и ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров, ре­ше­ны со­от­вет­ству­ю­щие за­да­чи. На сле­ду­ю­щем уроке мы про­дол­жим изу­чать ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/ugol-mezhdu-vektorami

http://www.youtube.com/watch?v=DIeo71CR4fY

http://www.youtube.com/watch?v=ICwchGItv_A

http://www.cleverstudents.ru/vectors/angle_between_vectors.html

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/c68d02dfb40516f7887f820a5cb8de0e.jpg

Файлы