9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
Комментарии преподавателя
1. Тема урока, введение
Тема урока: «Скалярное произведение векторов в координатах. Свойства скалярного произведения». На этом уроке мы выведем формулу вычисления скалярного произведения через координаты векторов, рассмотрим свойства скалярного произведения и решим задачу на использование свойств скалярного произведения векторов.
2. Теорема о скалярном произведении векторов в координатах
Сформулируем и докажем центральную теорему урока.
Теорема. Скалярное произведение векторов 
и 
выражается формулой
Доказательство.
1. При 
или 
теорема очевидна.
2. Пусть 
и 
– ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов
Перейдем в этой формуле к координатам.
Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.
3. Пусть 
Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.
Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим
4. Аналогично рассмотрим случай 
Вывод: 
для всех векторов и .
3. Следствия из теоремы
Сформулируем следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда 
.
Действительно, 
.
Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой:
Действительно, 
4. Свойства скалярного произведения векторов
Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов 
и любого числа k справедливы соотношения:
1. 
, причем 
при 
.
Доказательство.
Но 
при 
.
2. 
(переместительный закон).
Доказательство (из определения).
3. 
(распределительный закон).
Доказательство.
Для доказательства используем метод координат.
, тогда
.
4. 
(сочетательный закон).
Доказательство.
, значит,
Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,
.
5. Задача на использование свойств скалярного произведения векторов
Задача. Вычислить скалярное произведение векторов 
и 
, если 
и 
.
Решение.
По свойствам скалярного произведения
Ответ: 13.
6. Заключение
Итак, мы вывели формулу вычисления скалярного произведения векторов через координаты векторов, доказали свойства скалярного произведения и решили задачу на вычисление скалярного произведения с использованием свойств скалярного произведения.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/skalyarnoe-proizvedenie-v-koordinatah-svoystvo-skalyarnogo-proizvedeniya
http://www.youtube.com/watch?v=rmR1nDKeocs
http://festival.1september.ru/articles/520855/pril1.ppt
http://4book.org/uchebniki-rossiya/9-klass/58-geometriya-7-9-klassy-atanasyan-l-s-i-dr