9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.

Комментарии преподавателя

Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник

 1. Введение

Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем про­из­воль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, по­это­му мы вспом­ним опре­де­ле­ние про­из­воль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, его свой­ства, а затем пе­рей­дем к об­суж­де­нию пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков.

 

 

 

 

 

 

 

 Рис. 1.

На Рис. 1 пред­став­ле­ны при­ме­ры про­из­воль­ных мно­го­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние. Мно­го­уголь­ник – это за­мкну­тая ло­ма­ная без са­мо­пе­ре­се­че­ний. Или в более пол­ной фор­му­ли­ров­ке: мно­го­уголь­ник – это фи­гу­ра, со­став­лен­ная из от­рез­ков, так что:

1. смеж­ные от­рез­ки не лежат на одной пря­мой;

2. несмеж­ные от­рез­ки не имеют общих точек.

Далее вспом­ним опре­де­ле­ния вы­пук­ло­го и невы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ков (Рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рис. 2.

От­рез­ки на­зы­ва­ют­ся сто­ро­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, концы этих от­рез­ков – вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка.

Если про­ве­сти пря­мую (Рис. 1, слева)  А1А6, то весь мно­го­уголь­ник лежит по одну сто­ро­ну от этой пря­мой. Если же про­ве­сти дру­гую пря­мую А4А5, то она раз­де­лит мно­го­уголь­ник на две части, ле­жа­щие по раз­ные сто­ро­ны от этой пря­мой. Такой мно­го­уголь­ник – невы­пук­лый.

Те­перь рас­смот­рим мно­го­уголь­ник на Рис.1, спра­ва. Какую бы пря­мую, со­дер­жа­щую одну из его сто­рон, мы не по­стро­и­ли (на­при­мер, А1А2, А4А5), мно­го­уголь­ник все­гда будет ле­жать по одну сто­ро­ну от любой по­доб­ной пря­мой. Дан­ный мно­го­уголь­ник – вы­пук­лый.

Сфор­му­ли­ру­ем опре­де­ле­ние: вы­пук­лым на­зы­ва­ет­ся мно­го­уголь­ник, це­ли­ком ле­жа­щий по одну сто­ро­ну от пря­мой, про­ве­ден­ной через любые две со­сед­ние вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка.

Дадим дру­гое опре­де­ле­ние вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка.

Любой мно­го­уголь­ник делит плос­кость на две об­ла­сти: внут­рен­нюю и внеш­нюю. Вы­пук­лым будем на­зы­вать такой мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две про­из­воль­ные точки внут­рен­ней об­ла­сти, сам це­ли­ком при­над­ле­жит внут­рен­ней об­ла­сти. На Рис. 2б по­ка­зан при­мер та­ко­го от­рез­ка и, со­от­вет­ствен­но, вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка. На Рис. 2а, в свою оче­редь, по­ка­зан невы­пук­лый мно­го­уголь­ник и при­мер от­рез­ка М1М2, ко­то­рый не при­над­ле­жит це­ли­ком внут­рен­ней об­ла­сти мно­го­уголь­ни­ка, хотя его концы при­над­ле­жат ей.

Пра­виль­ным на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны и все углы равны. На Рис. 3 при­ве­де­ны два при­ме­ра пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков.

Рис. 3 а: n = 3. Это уже хо­ро­шо зна­ко­мый нам пра­виль­ный тре­уголь­ник. У него все сто­ро­ны равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.

n=4. Это не менее хо­ро­шо зна­ко­мый нам квад­рат (пра­виль­ный че­ты­рех­уголь­ник). Все сто­ро­ны равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внут­рен­них углов равна 360°.

 

Рис. 3.

Далее по­про­бу­ем от­ве­тить на во­прос: а ка­ко­ва сумма гра­дус­ных мер всех внут­рен­них углов мно­го­уголь­ни­ка при про­из­воль­ном n?

Ответ дает сле­ду­ю­щая тео­ре­ма:

Сумма углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка равна , где n – число сто­рон мно­го­уголь­ни­ка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

До­ка­за­тель­ство. Рас­смот­рим про­из­воль­ный вы­пук­лый мно­го­уголь­ник А1 … Аn (Рис. 4).

По­стро­им диа­го­на­ли мно­го­уголь­ни­ка (см. Рис. 4), ис­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, на­при­мер, А1. По­лу­ча­ем серию тре­уголь­ни­ков, обо­зна­чен­ных на ри­сун­ке ∆1, ∆2, … ∆n-2. Сумма углов каж­до­го из этих тре­уголь­ни­ков нам из­вест­на, она равна 180°. Число тре­уголь­ни­ков, на ко­то­рые можно раз­бить мно­го­уголь­ник ука­зан­ным спо­со­бом,  равно (n – 2).  Тогда ис­ко­мая сумма углов есть сумма углов всех тре­уголь­ни­ков, на ко­то­рые раз­бит мно­го­уголь­ник, то есть . Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Для про­из­воль­но­го вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка важ­ную роль иг­ра­ет тео­ре­ма о сумме внеш­них углов: 

Сумма внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка равна 360°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

До­ка­за­тель­ство. Рас­смот­рим внеш­ние углы β1, β2, … βn вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (Рис. 5).

Для этих углов спра­вед­ли­вы сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

,

где α1, α2 , … αn – внут­рен­ние углы мно­го­уголь­ни­ка. Спра­вед­ли­вость при­ве­ден­ных со­от­но­ше­ний вы­те­ка­ет из свойств смеж­ных углов. Сло­жим при­ве­ден­ные ра­вен­ства:

. Ис­поль­зуя преды­ду­щую тео­ре­му, по­лу­чим , а рас­крыв скоб­ки, по­лу­чим в пра­вой части 360°, то есть при­дем к вы­ра­же­нию, при­ве­ден­но­му в фор­му­ли­ров­ке тео­ре­мы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.

Имея на во­ору­же­нии сфор­му­ли­ро­ван­ные свой­ства пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков и до­ка­зан­ные тео­ре­мы, при­сту­пим к ре­ше­нию задач.

Дано число сто­рон пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка n. Найти угол αn.

Ре­ше­ние.

Со­глас­но тео­ре­ме, сумма углов мно­го­уголь­ни­ка равна 180° · (n – 2). С дру­гой сто­ро­ны, по­сколь­ку мно­го­уголь­ник пра­виль­ный, все его углы равны, а сле­до­ва­тель­но, сумма этих углов равна , где αn – ис­ко­мый угол. При­рав­ни­вая эти два вы­ра­же­ния, по­лу­чим, что внут­рен­ний угол пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка равен: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.

Решим за­да­чу на на­хож­де­ние числа сто­рон пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

Сколь­ко сто­рон имеет пра­виль­ный мно­го­уголь­ник, если:

а. каж­дый его угол αn равен 150°?

б. каж­дый его внеш­ний угол βn равен 120°?

Ре­ше­ние.

а. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу для угла пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, по­лу­чен­ную при ре­ше­нии преды­ду­щей за­да­чи. От­сю­да вы­ра­зим число сто­рон мно­го­уголь­ни­ка ; под­ста­вив в это вы­ра­же­ние зна­че­ние угла, дан­ное в усло­вии за­да­чи, по­лу­чим n = 12.

б. Оче­вид­но, что у пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка все внеш­ние углы равны между собой, сле­до­ва­тель­но, сумма внеш­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка равна . С дру­гой сто­ро­ны, тео­ре­ма о сумме внеш­них углов мно­го­уголь­ни­ка дает нам чис­лен­ное зна­че­ние этой суммы, т. е. 360°. При­рав­ни­вая этому зна­че­нию вы­ра­же­ния для суммы углов и учи­ты­вая за­дан­ное в усло­вии зна­че­ние внеш­не­го угла, по­лу­чим: , от­ку­да       n = 3 (рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник).

Итак, мы по­зна­ко­ми­лись с пра­виль­ным мно­го­уголь­ни­ком. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с окруж­но­стью, опи­сан­ной около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/pravilnyy-mnogougolnik

http://www.youtube.com/watch?v=ttLqGlrzYQY

http://www.youtube.com/watch?v=W978AViNBGM

http://www.youtube.com/watch?v=OS5OJL2IAyk

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/10/9_%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D0%B2%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%B8-%D0%B4%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA.jpg

http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N109/images/geom_9_10.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-9C2iNrsLCX8/T1TPnBRPgNI/AAAAAAAAA94/GZ46HjXZ7YE/s1600/Geom_24.jpg

http://u.900igr.net/zip/b173c8b9084661d816440d1bce7df4ee.zip

http://metodbook.ru/images/matematika/tests-po-geometrii-9klass/29/11122014-01.png

Файлы