9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.

Комментарии преподавателя

Окруж­ность, опи­сан­ная около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка

 

 1. Введение

Вспом­ним опре­де­ле­ние: пра­виль­ным на­зы­ва­ет­ся такой вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны и все углы равны.

Рис. 1.

На Рис. 1 при­ве­ден при­мер пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка А1 … Аn.

Он яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, по­сколь­ку це­ли­ком рас­по­ла­га­ет­ся по одну сто­ро­ну (в одной по­лу­плос­ко­сти)  от пря­мой, про­ве­ден­ной через любую из его сто­рон (на­при­мер

через сто­ро­ну A1A2).

Все сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка равны между собой:

an = A1A2 = A2A3 = … = An-1An = AnA1

Все углы фи­гу­ры также равны между собой, при­чем .

Вспом­ни­ме­ще одно опре­де­ле­ние: окруж­ность на­зы­ва­ет­ся опи­сан­ной около мно­го­уголь­ни­ка, если все его вер­ши­ны лежат на этой окруж­но­сти.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

На Рис. 2 дан при­мер окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка ABCD. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О, рав­но­уда­лен­ной от его вер­шин, при­чем рас­сто­я­ние от этой точки до любой вер­ши­ны равно ра­ди­у­су окруж­но­сти:

OA = OB = OC = OD = R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

Сле­ду­ю­щий при­мер – рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD  (Рис. 3). Как из­вест­но, около такой тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, т. е. су­ще­ству­ет такая точка О, ко­то­рая рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин тра­пе­ции:

OA = OB = OC = OD = R.

Каж­дый мно­го­уголь­ник со­сто­ит из от­дель­ных от­рез­ков – сто­рон мно­го­уголь­ни­ка. На Рис. 4 дан при­мер та­ко­го от­рез­ка АВ. Точка М – се­ре­ди­на этого от­рез­ка, а пря­мая р – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр. Вспом­ним и его опре­де­ле­ние: се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к от­рез­ку на­зы­ва­ет­ся гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от кон­цов от­рез­ка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

О ∈ р  ⟺ ОА = ОВ  (точка О при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру р тогда и толь­ко тогда, когда ОА = ОВ). Это по­яс­не­ние рас­па­да­ет­ся на два утвер­жде­ния.

Пер­вое утвер­жде­ние: если точка К  лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре, то она рав­но­уда­ле­на от точек А и В, т. е. КА = КВ =R1.

Это утвер­жде­ние ста­но­вит­ся оче­вид­ным, если об­ра­тить вни­ма­ние на ра­вен­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ∆КМА и ∆КМВ (по двум ка­те­там).

Вто­рое (об­рат­ное) утвер­жде­ние: пусть точка О рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка АВ. При­над­ле­жит ли она се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру? Ответ утвер­ди­тель­ный, по­сколь­ку ∆ОМА = ∆ОМВ (по трем сто­ро­нам), и, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок ОМ  – ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го ∆АВО, а по свой­ствам такой ме­ди­а­ны, она же яв­ля­ет­ся и вы­со­той дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

От­ме­чен­ные свой­ства се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, по су­ще­ству, лежат в ос­но­ве опи­са­ния всех свойств опи­сан­ных окруж­но­стей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

По­яс­ним это опре­де­ле­ние.

При­ме­ром тому может слу­жить сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние (см. Рис. 5): около   n-уголь­ни­ка А1 … Аnможно опи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры всех его сто­рон имеют общую точку:

,то есть эта точка О рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин фи­гу­ры.

При­ве­дем кон­крет­ные при­ме­ры.

Пра­виль­ный тре­уголь­ник (n = 3)

Из­вест­но, что около лю­бо­го тре­уголь­ни­ка АВС, в том числе пра­виль­но­го, можно опи­сать окруж­ность (Рис. 6). Ее центр лежит на пе­ре­се­че­нии се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров (). Осо­бен­ность этого слу­чая та­ко­ва, что в слу­чае пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка на се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­рах лежат и бис­сек­три­сы, и ме­ди­а­ны, и вы­со­ты. Точка О рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин тре­уголь­ни­ка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.

Пра­виль­ный че­ты­рех­уголь­ник (n = 4), то есть квад­рат АВСD.

Около такой фи­гу­ры (Рис. 7) также можно опи­сать окруж­ность. Ее центр будет ле­жать на пе­ре­се­че­нии се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров. Осо­бен­но­стью этого слу­чая яв­ля­ет­ся то, что се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры про­ти­во­по­лож­ных сто­рон квад­ра­та сов­па­да­ют (р1 = р3; р2 = р4). Тем не менее все се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры будут иметь общую точку О, рав­но­уда­лен­ную от всех вер­шин квад­ра­та: OA = OB = OC = OD = R.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.

Пра­виль­ный n-уголь­ник. До­ка­жем, что се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры двух смеж­ных сто­рон пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся.

На Рис. 8 при­ве­ден фраг­мент пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. Ис­поль­зу­ем метод до­ка­за­тель­ства от про­тив­но­го. Пусть се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры двух смеж­ных сто­рон мно­го­уголь­ни­ка па­рал­лель­ны,  р1 || р2.

По усло­вию, A1A2  ^  р1 и A2A3  ^  р2. Если се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры па­рал­лель­ны между собой, то смеж­ные сто­ро­ны A1A2и A2A3  мно­го­уголь­ни­ка долж­ны сов­пасть (см. Рис. 9), что про­ти­во­ре­чит усло­вию (по­сколь­ку нам дан пра­виль­ный мно­го­уголь­ник, в ко­то­ром внут­рен­ние углы мень­ше раз­вер­ну­то­го).Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет точка О пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров двух смеж­ных сто­рон пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. Эта точка рав­но­уда­ле­на от трех вер­шин мно­го­уголь­ни­ка.

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.

 

 

 

 

 

 

Рис 9.

Пра­виль­ный n-уголь­ник. До­ка­жем, что бис­сек­три­сы двух со­сед­них углов мно­го­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся.

На Рис. 10 дан фраг­мент пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при этом A1О и A2О – бис­сек­три­сы двух его со­сед­них углов. Снова вос­поль­зу­ем­ся до­ка­за­тель­ством от про­тив­но­го.

 

 

 

 

 

 

Рис. 10.

Пусть  A1О || A2О. Тогда по­ло­ви­на угла A1 в сумме с по­ло­ви­ной угла A2 дадут 180° как од­но­сто­рон­ние углы при па­рал­лель­ных пря­мых (см. Рис. 11). То есть Þ α = 180° (все обо­зна­че­ния по­ка­за­ны на ри­сун­ках). По­след­нее невоз­мож­но по при­чи­нам, ука­зан­ным в преды­ду­щем до­ка­за­тель­стве.

Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис со­сед­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка (точка О), рав­но­уда­лен­ная от вер­шин этих углов. По­след­нее свой­ство яв­ля­ет­ся след­стви­ем того, что по­ло­вин­ки углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка равны, а зна­чит, ∆ОA1A2 – рав­но­бед­рен­ный. То есть ОA1 = ОA2.

 

 

 

 

 

 

Рис. 11.

Те­перь рас­смот­рим ос­нов­ную тео­ре­му дан­но­го урока:

Около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность и при­том толь­ко одну. Пер­вое до­ка­за­тель­ство про­ве­дем с по­мо­щью се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров (Рис. 12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12.

Пусть р1 и р2 – два се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке О (), и эта точка рав­но­уда­ле­на от вер­шин A1, A2 и A3мно­го­уголь­ни­ка (ОA1 = ОA2 = ОA3 = R, где R – ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг мно­го­уголь­ни­ка окруж­но­сти). До­ка­жем, что окруж­ность про­хо­дит через сле­ду­ю­щую вер­ши­ну А4.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ∆ОA3A2 и ∆ОA3A4. Из опре­де­ле­ния пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка сле­ду­ет их ра­вен­ство по двум сто­ро­нам и углу между ними (одна из сто­рон – общая для обоих тре­уголь­ни­ков ОA3, а осталь­ные – сто­ро­ны пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка A3A2  и A4A3, ко­то­рые равны). От­сю­да сле­ду­ет, что  ОA4 = ОA3 = R, то есть вер­ши­на А4 также лежит на окруж­но­сти. Про­во­дя по­доб­ные рас­суж­де­ния по­сле­до­ва­тель­но для всех осталь­ных вер­шин, можно до­ка­зать, что и они все лежат на окруж­но­сти. Эта окруж­ность – един­ствен­ная, так как она про­хо­дит через три точки (любые три вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка), не ле­жа­щие на одной пря­мой.

Таким об­ра­зом, тео­ре­ма до­ка­за­на. Вто­рой спо­соб до­ка­за­тель­ства ис­поль­зу­ет свой­ства бис­сек­трис со­сед­них углов.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.

Пусть бис­сек­три­сы l1 иl2 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Как мы до­ка­за­ли выше, l1 =l2 , то есть ∆ОA1A2 – рав­но­бед­рен­ный. В этом тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии (ÐA1 и ÐA2) равны.

Пусть l1 =l2 = R.

Далее за­ме­ча­ем, что ∆ОA2A1 = ∆ОA2A3 по двум сто­ро­нам и углу между ними. Зна­чит, ОA3 = ОA2 = R. Про­ве­дя ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния для всех осталь­ных вер­шин мно­го­уголь­ни­ка, при­хо­дим к вы­во­ду о том, что все вер­ши­ны пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка рав­но­уда­ле­ны от точки О – точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис его углов. Зна­чит, около та­ко­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, при­чем эта окруж­ность един­ствен­ная, так как она про­хо­дит через три точки (любые три вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка), не ле­жа­щие на одной пря­мой.

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Итак, на дан­ном уроке мы до­ка­за­ли, что около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность и при­том толь­ко одну.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/okruzhnost-opisannaya-okolo-pravilnogo-mnogougolnika

http://www.youtube.com/watch?v=NnKL4hDoaqg

http://www.youtube.com/watch?v=NYzyYFE0gTU

http://auto.ur.ru/img/books_covers/1007081838.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/10/2_%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE-%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0.jpg

http://kaminskaya.ucoz.ru/okruzhnostCDRcurves7.jpg

http://scienceland.info/geometry8/regular-polygon-inscribed

Файлы