9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.
9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.
Комментарии преподавателя
Построение правильных многоугольников
1. Введение
По традиции, напомним здесь основное определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны (Рис. 1.) .
Рис. 1.
В этот многоугольник всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Центры обеих окружностей совпадают (точка О на Рис. 1). Также на рисунке приведены радиусы описанной (R ) и вписанной (r) окружностей.
В ходе предыдущих уроков мы выяснили, что базовую роль для описания свойств многоугольников играют биссектрисы его углов и серединные перпендикуляры к его сторонам. Именно на умении строить биссектрисы углов и серединные перпендикуляры отрезков и основывается методика построения правильных многоугольников. Вкратце напомним, как построить серединный перпендикуляр отрезка.
Дан отрезок АВ (Рис. 2). Необходимо построить его серединный перпендикуляр.
Рис. 2.
1. Проведем окружность с центром в точке А произвольного радиуса R (на рис 2. изображены только фрагменты этой окружности);
2. Аналогично проведем окружность с центром в точке В того же радиуса (Рис. 2);
3. Точки M и N пересечения построенных окружностей соединяем отрезком;
4. Этот отрезок MN и будет серединным перпендикуляром отрезка АВ. Докажем это утверждение. Треугольники MNB и MNA равны по трем сторонам, откуда следует равенство углов при вершине М. Треугольники АNB и MВA также равны по трем сторонам, кроме того, все указанные треугольники – равнобедренные. МН – биссектриса ∆MВA, а следовательно, она же является и высотой, и медианой данного треугольника. Аналогичные рассуждения проводятся и для отрезка NH. Таким образом, получаем, что MN ^ АВ и делит его пополам. Что и требовалось доказать.
Умение строить серединный перпендикуляр отрезка позволяет решать многие задачи. Вот пример одной из них: построить квадрат, если дана его диагональ d (Рис. 3.).
Рис. 3.
Построение:
1. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ, равный d.
2. По указанному выше алгоритму строим для отрезка АВ серединный перпендикуляр р (Рис. 3).
3. Находим точку М пересечения серединного перпендикуляра с отрезком. Из этой точки на прямой р откладываем отрезки MC = MD = МА.
4. Соединяем точки А, В, С, D отрезками, как показано на Рис. 3.
5. В результате получаем квадрат с диагоналями АВ и СD.
Задача решена.
Напомним и еще одно важное построение – построение биссектрисы угла.
Пусть дан угол ÐО (Рис. 4). Необходимо построить его биссектрису.
Рис. 4.
Построение:
1. Проводим окружность с центром в точке О некоторого радиуса R. На Рис. 4 эта окружность показана фрагментарно.
2. Находим точки А и В пересечения этой окружности со сторонами ÐО.
3. Строим окружность с центром в точке А некоторого радиуса 
(Рис. 4).
4. Аналогично строим окружность с центром в точке В и того же радиуса .
5. Находим точку L пересечения этих окружностей .
6. Соединяем точки L и О отрезком.
7. Полученный отрезок LО – биссектриса угла (это утверждение легко доказывается при учете равенства треугольников ОLА и ОLВ).
Построение закончено.
Важнейшим из правильных многоугольников является равносторонний треугольник.
Задача: построить правильный треугольник АВС, сторона которого равна а.
Рис. 5.
Построение (Рис. 5):
1. На произвольной прямой выбираем точку А и при помощи линейки откладываем на этой прямой отрезок АС = а.
2. Строим две окружности одинакового радиуса а – с центром в точке А и с центром в точке С (на Рис. 5 фрагменты окружностей показаны пунктиром). Для этого ножки циркуля с помощью линейки разводим на нужное расстояние.
3. Находим точку В пересечения этих окружностей и соединяем ее с точками А и С.
4. Получили искомый правильный треугольник АВС. Задача решена.
Рассмотрим алгоритм построения правильного шестиугольника.
Задача: построить правильный шестиугольник со стороной а6 .
Рис. 6.
Построение (Рис. 6):
1. Для начала вспомним доказанное на предыдущих уроках свойство шестиугольника: длина его стороны равна радиусу описанной окружности: 
.
2. Построим окружность с центром в произвольной точке О и радиусом 
.
Угол между ножками циркуля не меняем.
3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точки А1 на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку А2 и соединим ее с точкой А1. Получим первую сторону шестиугольника.
4. Повторив те же действия еще 4 раза, получим остальные вершины искомой фигуры.
5. В результате получим A1 … А6 – правильный шестиугольник с центром в точке О.
Задача решена.
Следующая задача демонстрирует важный прием, необходимый при построении правильных многоугольников.
Удвоение числа сторон правильного многоугольника.
Задача.
Дан правильный n-угольник А1 … Аn (Рис. 7). Построить правильный 2n-угольник А1 В1 А2 В2 … АnВn, т. е. правильный многоугольник с числом сторон вдвое большим, чем у исходного.
Рис. 7.
Построение:
1. Восстановим серединные перпендикуляры к двум соседним сторонам исходного многоугольника и найдем точку О их пересечения (показаны пунктиром на Рис. 7).
2. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОА1. Данная окружность пройдет через все вершины многоугольника, т. к. является описанной около него.
3. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенным из точки О, разделим все его стороны и все дуги окружности, заключенные между его соседними вершинами, пополам. Для этого достаточно просто опустить перпендикуляры из центра окружности на стороны и продлить их до пересечения с окружностью.
4. Точки В1, В2, … Вn пересечения серединных перпендикуляров с окружностью соединить с вершинами многоугольника А1 …Аn отрезками, как показано на Рис. 7.
5. Полученная фигура и будет искомым правильным многоугольником, число сторон которого вдвое больше числа сторон исходного многоугольника.
Задача решена.
На данном уроке было рассмотрено построение правильного многоугольника при помощи циркуля и линейки. Важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом.
Доказано, что так нельзя построить, например, правильный 7-угольник, а вот правильный 17-угольник можно построить этим способом.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/postroenie-pravilnyh-mnogougolnikov
http://www.youtube.com/watch?v=W978AViNBGM
http://www.youtube.com/watch?v=gaPccVKMOl8
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2015/09/15/algoritmy-postroeniya-pravilnyh-mnogougolnikov
http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N109/images/geom_9_10.jpg
http://v.5klass.net/zip/2ca42a07f0dbffe47b645bf8cc241431.zip