9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.

Комментарии преподавателя

Пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки. Ти­по­вые за­да­чи

 1. Введение

Итак, имеем окруж­ность ра­ди­у­са R, сек­тор с Ðα. На­пом­ним, сек­тор – это часть круга, огра­ни­чен­ная дугой окруж­но­сти и двумя ра­ди­у­са­ми. Наша за­да­ча – найти пло­щадь этого сек­то­ра и длину дуги окруж­но­сти , огра­ни­чи­ва­ю­щей этот сек­тор. При этом мы по­пут­но вспом­ним пло­щадь круга.

За­пи­шем крат­кое усло­вие:

Дано:

круг ра­ди­у­са R; сек­тор АОВ (Рис. 1.);

Рис. 1.

ÐАОВ = α.

Найти: 1. SAOB; 2. = lα;

Ре­ше­ние.

При рас­смот­ре­нии пер­во­го во­про­са за­да­чи будем опи­рать­ся на тот факт, что сек­тор – часть круга, и, со­от­вет­ствен­но, пло­щадь сек­то­ра – часть пло­ща­ди круга. Раз­де­лив пло­щадь круга на 360°,  мы по­лу­чим пло­щадь сек­то­ра (он по­ка­зан на ри­сун­ке «внут­ри» сек­то­ра АОВ), ко­то­рый огра­ни­чен дугой, опи­ра­ю­щей­ся на угол, рав­ный 1°. Далее, умно­жив по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние на ве­ли­чи­ну Ðα, мы по­лу­чим ис­ко­мую пло­щадь сек­то­ра АОВ:

.

Ана­ло­гич­ные со­об­ра­же­ния при­ме­ни­мы и ко вто­ро­му во­про­су. Длина дуги окруж­но­сти – часть длины всей окруж­но­сти. По­след­няя равна . Раз­де­лив эту длину на 360°, мы по­лу­чим длину дуги, опи­ра­ю­щей­ся на угол ве­ли­чи­ной 1°. Умно­жив ре­зуль­тат на гра­дус­ную меру Ðα, по­лу­чим нуж­ный нам ре­зуль­тат:

, или, со­кра­тив дробь,.

Далее, если из сек­то­ра мы «от­ре­жем» тре­уголь­ник (Рис. 2.), по­лу­чим фи­гу­ру, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся сег­мент. Дру­ги­ми сло­ва­ми, сек­тор – это фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная дугой и хор­дой.

Рис. 2.

За­да­ча – найти пло­щадь сег­мен­та.

Ре­ше­ние до­ста­точ­но про­стое: коль скоро мы умеем вы­чис­лять пло­щадь сек­то­ра и пло­щадь тре­уголь­ни­ка, то путем вы­чи­та­ния вто­рой из пер­вой мы вы­чис­лим ис­ко­мую пло­щадь сег­мен­та: . Для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой про­из­ве­де­ния его сто­рон на синус угла между ними. Так как сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют с ра­ди­у­са­ми круга, то по­лу­чим: .

Таким об­ра­зом, ос­нов­ные эле­мен­ты, ко­то­рые можно вы­де­лить в круге, мы рас­смот­ре­ли.

Те­перь будем ре­шать кон­крет­ные за­да­чи.

За­да­ча № 1123 из учеб­ни­ка Ата­на­ся­на.

Из круга ра­ди­у­са r вы­ре­зан квад­рат, впи­сан­ный в окруж­ность, ко­то­рая огра­ни­чи­ва­ет круг. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части круга.

Дано:

круг ра­ди­у­са R;

впи­сан­ный в круг квад­рат.

Найти: пло­щадь части круга, не при­над­ле­жа­щей квад­ра­ту.

Ре­ше­ние.

Часть круга, пло­щадь ко­то­рой нам необ­хо­ди­мо найти, на Рис. 3 по­ме­че­на штри­хов­кой.  Мы видим, что ис­ко­мая ве­ли­чи­на – это пло­щадь че­ты­рех сег­мен­тов.

Рис. 3.

Ре­шить за­да­чу можно несколь­ки­ми спо­со­ба­ми, но здесь мы рас­смот­рим толь­ко один из них.

Из ри­сун­ка видно, что пло­щадь за­штри­хо­ван­ной части равна раз­но­сти пло­ща­ди круга и пло­ща­ди квад­ра­та: , где. Если обо­зна­чить через а длину сто­ро­ны квад­ра­та, то, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра для лю­бо­го из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ют квад­рат его диа­го­на­ли, можно по­лу­чить: , тогда пло­щадь квад­ра­та . Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пло­щадь за­штри­хо­ван­ной части круга равна: .

За­да­ча ре­ше­на.

Из по­лу­чен­но­го от­ве­та можно сразу вы­чис­лить пло­щадь лю­бо­го из че­ты­рех за­штри­хо­ван­ных сег­мен­тов – для этого до­ста­точ­но раз­де­лить по­лу­чен­ную пло­щадь на 4.

За­да­ча № 1109.

Най­ди­те длину дуги окруж­но­сти ра­ди­у­са 6 см, если ее гра­дус­ная мера равна: а) 30°; б) 45°;     в) 60°; г) 90°.

Дано (см. Рис. 4):

R = 6 см;

а) α  = 30°;

Найти: .

Ре­ше­ние.

Для ре­ше­ния можно вос­поль­зо­вать­ся общей фор­му­лой длины дуги окруж­но­сти, под­ста­вив в нее зна­че­ние угла и ра­ди­у­са:

 см.

Рис. 4.

В за­клю­че­нии рас­смот­рим одну шу­точ­ную за­да­чу, ко­то­рая, тем не менее, поз­во­лит нам по­вто­рить неко­то­рые прой­ден­ные ранее мо­мен­ты.

Итак, нам задан ра­ди­ус Земли R, и со­от­вет­ству­ю­щая ему длина окруж­но­сти, охва­ты­ва­ю­щей Землю вдоль, на­при­мер, эк­ва­то­ра, рав­ная 2πR. Зна­че­ние этой длины – ве­ли­чи­на весь­ма зна­чи­тель­ная, около 40 000 км. Пред­по­ло­жим, что мы по­лу­чи­ли воз­мож­ность свить ве­рев­ку, ко­то­рая пол­но­стью опо­я­сы­ва­ет Землю, имеет длину, пре­вы­ша­ю­щую вы­ше­ука­зан­ную длину окруж­но­сти на 1 м (Рис. 5). Для нас важно, что Землю и ве­рев­ку можно изоб­ра­зить в виде окруж­но­стей с общим цен­тром (или так на­зы­ва­е­мых кон­цен­три­че­ских окруж­но­стей). Во­прос: смо­жет ли в об­ра­зо­вав­ший­ся между по­верх­но­стью Земли и ве­рев­кой про­ме­жу­ток (на ри­сун­ке обо­зна­чен­ный как d) про­лезть мышь?

Рис. 5.

Ре­ше­ние.

Под­счи­та­ем, чему равно зна­че­ние d. Для этого из ра­ди­у­са окруж­но­сти,  об­ра­зо­ван­ной ве­рев­кой (), необ­хо­ди­мо вы­честь ра­ди­ус Земли: . Чтобы под­счи­тать эту раз­ность, за­пи­шем вы­ра­же­ние для раз­но­стей длин ве­рев­ки и эк­ва­то­ра, ко­то­рая, по усло­вию за­да­чи, со­став­ля­ет 1 м:

.

Раз­де­лив обе части этого ра­вен­ства на 2π, по­лу­чим зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны:

,

т. е. , что со­став­ля­ет при­мер­но 1/6 часть метра. Таким об­ра­зом, мышь смо­жет про­ско­чить. По­лу­ча­ет­ся, что взяв ве­рев­ку, длина ко­то­рой всего лишь на 1 м пре­вос­хо­дит длину эк­ва­то­ра, мы по­лу­чим окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой почти на 17 см пре­вос­хо­дит ра­ди­ус Земли. При­чем от зна­че­ния по­след­не­го ре­зуль­тат со­вер­шен­но не за­ви­сит, что может по­ка­зать­ся на пер­вый взгляд па­ра­док­саль­ным.

Итак, сде­ла­ли обзор пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков, вы­яс­ни­ли, что цен­тры их впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей сов­па­да­ют и что для пол­но­го за­да­ния пра­виль­но­го п-уголь­ни­ка до­ста­точ­но за­дать  один из трех эле­мен­тов: либо длину сто­ро­ны п-уголь­ни­ка, либо ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, либо ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Мы также нашли фор­му­лы, свя­зы­ва­ю­щие эти три ве­ли­чи­ны, и ре­ши­ли ряд со­от­вет­ству­ю­щих задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/pravilnye-mnogougolniki-tipovye-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=zjVScA7Bryw

http://www.youtube.com/watch?v=hf9C2q8KlGU

http://www.youtube.com/watch?v=OS5OJL2IAyk

http://www.youtube.com/watch?v=FZQXnOdUeeI

http://aiistlaev.edurm.ru/files/k%20uroku.ppt

http://bigslide.ru/uploads/files/24/pravilnyemnogougolniki.ppt

Файлы