9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.

Комментарии преподавателя

 Определение окружности

Окруж­но­стью на­зы­ва­ет­ся мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, рав­но­уда­лен­ных от одной точки, от цен­тра (рис. 1).

Рис. 1. Окруж­ность ра­ди­у­са R с цен­тром в точке О

 Наглядное представление о  длине окружности

Что же такое длина окруж­но­сти?

Пусть дана неэла­стич­ная нить в форме окруж­но­сти, раз­ре­жем ее, рас­пря­мим за концы, по­лу­чим от­ре­зок, длина этого от­рез­ка и дает пред­став­ле­ние о длине окруж­но­сти.

Упо­мя­ну­тая нить рас­по­ла­га­ет­ся на окруж­но­сти неточ­но, имеет ко­неч­ные раз­ме­ры, мы не можем с по­мо­щью этой нити из­ме­рить очень ма­лень­кие окруж­но­сти, на­при­мер, ор­би­ту элек­тро­на, или очень боль­шие окруж­но­сти, на­при­мер, ор­би­ту Земли и т.д.

 Понятие длины окружности

Т.е. при­ме­ня­е­мые фор­му­лы нужно уза­ко­нить и пре­жде всего нужно по­нять, уточ­нить, что такое длина окруж­но­сти? Ее можно из­ме­рить, имен­но так и по­сту­пал древ­не­гре­че­ский уче­ный Ар­хи­мед еще в III веке до н.э. изу­чая от­но­ше­ние длины окруж­но­сти к диа­мет­ру ().

Он опыт­ным путем уста­но­вил, что это от­но­ше­ние по­сто­ян­но или почти по­сто­ян­но для всех из­ме­рен­ных окруж­но­стей, и оно при­мер­но равно . К на­сто­я­ще­му вре­ме­ни уста­нов­ле­но, что длина окруж­но­сти к диа­мет­ру есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная для всех окруж­но­стей. Это число обо­зна­ча­ет­ся гре­че­ской бук­вой  (), 

До­ка­за­но, что  – ир­ра­ци­о­наль­ное число, т.е. может быть пред­став­ле­но бес­ко­неч­ной непе­ри­о­дич­ной де­ся­тич­ной дро­бью, его при­мер­ное зна­че­ние 3,1416…. На­сколь­ко оно от­ли­ча­ет­ся от того зна­че­ния, ко­то­рое нашел Ар­хи­мед (3,1416 от )? Точ­ность при­бли­же­ния равна 0,002.

Пусть  - длина окруж­но­сти? , зна­чит, , этой фор­му­лой мы поль­зо­ва­лись, счи­тая, что  . Воз­ни­ка­ет за­кон­ный во­прос, мы умеем счи­тать длину окруж­но­сти, но не знаем, что это такое, ведь ука­зан­ная нить, ко­то­рой поль­зо­вал­ся Ар­хи­мед, дает лишь на­гляд­ное пред­став­ле­ние окруж­но­сти. Вы­яс­ня­ет­ся, что мы умеем счи­тать длину окруж­но­сти, но, что это такое, мы не знаем.

 Измерение длины окружности

Необ­хо­ди­мо уточ­нить, что такое длина окруж­но­сти. На­пом­ним: длина любой кри­вой при­мер­но равна ло­ман­ной, ко­то­рая впи­са­на в нее или опи­са­на около нее.

Около окруж­но­сти и в окруж­ность можно впи­сать -уголь­ник, мы впи­шем пра­виль­ный -уголь­ник в окруж­ность (рис. 2),  – длина его сто­ро­ны,  – число сто­рон.

Рис. 2. Впи­сан­ный n-уголь­ник в окруж­ность

Пе­ри­метр этого тре­уголь­ни­ка в  раз боль­ше, чем длина окруж­но­сти: .

Если мы будем уве­ли­чи­вать, на­при­мер, удва­и­вать число сто­рон мно­го­уголь­ни­ка, то хорда, ска­жем,  будет при­мер­но равна длине дуги, ко­то­рую она стя­ги­ва­ет.

Итак, при , стре­мя­щем­ся к бес­ко­неч­но­сти, точ­ность при­бли­же­ния уве­ли­чи­ва­ет­ся, пе­ри­метр стре­мит­ся к неко­то­ро­му числу (обо­зна­чим его как ), вот это число  и при­ни­ма­ет­ся за длину окруж­но­сти.

 События при 

Рас­смот­рим по­дроб­нее те со­бы­тия, ко­то­рые про­ис­хо­дят при  (рис. 3). Во-пер­вых, четко будем по­ни­мать, что при любом фик­си­ро­ван­ном , даже очень боль­шом, длина сто­ро­ны , длина со­от­вет­ству­ю­щей дуги. И пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка мень­ше длины окруж­но­сти. Но у нас  не кон­крет­ное число,  – пе­ре­мен­ная, ко­то­рая стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти, но что же при этом про­ис­хо­дит?

Рис. 3. Фраг­мент окруж­но­сти, где – длина со­от­вет­ству­ю­щей дуги окруж­но­сти,  – длина сто­ро­ны -уголь­ни­ка

А есть ли пре­дел этому стрем­ле­нию? Есть! Это число 0, но он ни­ко­гда не до­сти­жим. Что же про­изой­дет в этом су­ще­ству­ю­щем, но недо­пу­сти­мом пре­де­ле, когда? Точки A и B сов­па­дут, мно­го­уголь­ник со­льет­ся с окруж­но­стью, пе­ри­метр при­мет зна­че­ние длины окруж­но­сти, вот это зна­че­ние  - длина окруж­но­сти.

 Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру

Тео­ре­ма: от­но­ше­ние длины окруж­но­сти к ее диа­мет­ру не за­ви­сит от окруж­но­сти, т.е. одно и то же для любых двух окруж­но­стей.

Имеем две окруж­но­сти. ; ;  и ха­рак­те­ри­сти­ки пер­вой окруж­но­сти:

Ха­рак­те­ри­сти­ки дру­гой окруж­но­сти: .

Из по­лу­чен­ных со­от­но­ше­ний по­лу­ча­ем:     ;  /

Т.е. от­но­ше­ние длины к ее диа­мет­ру дей­стви­тель­но не за­ви­сит от окруж­но­сти. Тео­ре­ма до­ка­за­на.

От­но­ше­ние длины окруж­но­сти к ее диа­мет­ру равно, мы обос­но­ва­ли из­вест­ную фор­му­лу: /

Вывод

Мы уточ­ни­ли по­ня­тие окруж­но­сти и обос­но­ва­ли фор­му­лу длины окруж­но­сти, рас­смот­ре­ли тео­ре­му об от­но­ше­нии длины окруж­но­сти к ее диа­мет­ру.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/dlina-okruzhnosti

http://www.youtube.com/watch?v=rQ29CXA98BY

http://www.youtube.com/watch?v=2rvJsLoXRC8

http://www.youtube.com/watch?v=sVPN0UCjwd0

https://www.youtube.com/watch?v=TGLKBJxJI3k

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/03/20/dlina_okruzhnosti_i_dlina_dugi_okruzhnosti.ppt

http://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/srednjaja-shkola/geometrija/104532-zadachi-dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga-9-.html

http://4.bp.blogspot.com/-IQSsgCaXuZc/T1TP3WQqj7I/AAAAAAAAA-Q/LCSG84XsTJg/s1600/Geom_36.jpg

https://yandex.ru/images/search?_=1451420742133&p=4&text=%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.%209%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81&noreask=1&lr=10982

Файлы