9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.
9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Построение правильных многоугольников.
Комментарии преподавателя
Определение окружности
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра (рис. 1).
Рис. 1. Окружность радиуса R с центром в точке О
Наглядное представление о длине окружности
Что же такое длина окружности?
Пусть дана неэластичная нить в форме окружности, разрежем ее, распрямим за концы, получим отрезок, длина этого отрезка и дает представление о длине окружности.
Упомянутая нить располагается на окружности неточно, имеет конечные размеры, мы не можем с помощью этой нити измерить очень маленькие окружности, например, орбиту электрона, или очень большие окружности, например, орбиту Земли и т.д.
Понятие длины окружности
Т.е. применяемые формулы нужно узаконить и прежде всего нужно понять, уточнить, что такое длина окружности? Ее можно измерить, именно так и поступал древнегреческий ученый Архимед еще в III веке до н.э. изучая отношение длины окружности к диаметру (
).
Он опытным путем установил, что это отношение постоянно или почти постоянно для всех измеренных окружностей, и оно примерно равно 
. К настоящему времени установлено, что длина окружности к диаметру есть величина постоянная для всех окружностей. Это число обозначается греческой буквой 
(
), 
Доказано, что – иррациональное число, т.е. может быть представлено бесконечной непериодичной десятичной дробью, его примерное значение 3,1416…. Насколько оно отличается от того значения, которое нашел Архимед (3,1416 от )? Точность приближения равна 0,002.
Пусть 
- длина окружности? 
, значит, 
, этой формулой мы пользовались, считая, что 
. Возникает законный вопрос, мы умеем считать длину окружности, но не знаем, что это такое, ведь указанная нить, которой пользовался Архимед, дает лишь наглядное представление окружности. Выясняется, что мы умеем считать длину окружности, но, что это такое, мы не знаем.
Измерение длины окружности
Необходимо уточнить, что такое длина окружности. Напомним: длина любой кривой примерно равна ломанной, которая вписана в нее или описана около нее.
Около окружности и в окружность можно вписать -угольник, мы впишем правильный 
-угольник в окружность (рис. 2), 
– длина его стороны, – число сторон.
Рис. 2. Вписанный n-угольник в окружность
Периметр этого треугольника в раз больше, чем длина окружности: 
.
Если мы будем увеличивать, например, удваивать число сторон многоугольника, то хорда, скажем, 
будет примерно равна длине дуги, которую она стягивает.
Итак, при , стремящемся к бесконечности, точность приближения увеличивается, периметр стремится к некоторому числу (обозначим его как ), вот это число и принимается за длину окружности.
События при 
Рассмотрим подробнее те события, которые происходят при 
(рис. 3). Во-первых, четко будем понимать, что при любом фиксированном , даже очень большом, длина стороны 
, длина соответствующей дуги. И периметр многоугольника меньше длины окружности. Но у нас не конкретное число, – переменная, которая стремится к бесконечности, но что же при этом происходит?
Рис. 3. Фрагмент окружности, где 
– длина соответствующей дуги окружности, 
– длина стороны 
-угольника
А есть ли предел этому стремлению? Есть! Это число 0, но он никогда не достижим. Что же произойдет в этом существующем, но недопустимом пределе, когда
? Точки A и B совпадут, многоугольник сольется с окружностью, периметр примет значение длины окружности, вот это значение - длина окружности.
Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру
Теорема: отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых двух окружностей.
Имеем две окружности. ; 
; 
и характеристики первой окружности:
Характеристики другой окружности: 
.
Из полученных соотношений получаем: 
; 
/
Т.е. отношение длины к ее диаметру действительно не зависит от окружности. Теорема доказана.
Отношение длины окружности к ее диаметру равно
, мы обосновали известную формулу: /
Вывод
Мы уточнили понятие окружности и обосновали формулу длины окружности, рассмотрели теорему об отношении длины окружности к ее диаметру.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/dlina-okruzhnosti
http://www.youtube.com/watch?v=rQ29CXA98BY
http://www.youtube.com/watch?v=2rvJsLoXRC8
http://www.youtube.com/watch?v=sVPN0UCjwd0
https://www.youtube.com/watch?v=TGLKBJxJI3k
http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/03/20/dlina_okruzhnosti_i_dlina_dugi_okruzhnosti.ppt
http://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/srednjaja-shkola/geometrija/104532-zadachi-dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga-9-.html
http://4.bp.blogspot.com/-IQSsgCaXuZc/T1TP3WQqj7I/AAAAAAAAA-Q/LCSG84XsTJg/s1600/Geom_36.jpg
https://yandex.ru/images/search?_=1451420742133&p=4&text=%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.%209%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81&noreask=1&lr=10982