9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.

Комментарии преподавателя

Дви­же­ние. Свой­ства дви­же­ния

 1. Введение

До­ка­жем тео­ре­му: при дви­же­нии от­ре­зок пе­ре­хо­дит в от­ре­зок.

Рас­шиф­ру­ем фор­му­ли­ров­ку тео­ре­мы с по­мо­щью Рис. 1. Если концы неко­то­ро­го от­рез­ка MN при дви­же­нии отоб­ра­зи­лись в неко­то­рые точки M1 и N1 со­от­вет­ствен­но, то любая точка Р от­рез­ка MN обя­за­тель­но пе­рей­дет в неко­то­рую точку Р1 от­рез­ка M1N1, и на­о­бо­рот, в каж­дую точку Q1 от­рез­ка M1N1 обя­за­тель­но отоб­ра­зит­ся неко­то­рая точка Qо­т­рез­ка MN.

Рис. 1.

До­ка­за­тель­ство.

Как видно из ри­сун­ка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р пе­ре­хо­дит в неко­то­рую точку Р1' плос­ко­сти. Из опре­де­ле­ния дви­же­ния сле­ду­ет ра­вен­ство длин от­рез­ков MN = M1N1,                MР = M1Р1', РN = Р1'N1. Из этих ра­венств сле­ду­ет, что M1Р1', M1Р1'+ Р1'N1 = MР + РN = MN = M1N1, то есть, точка Р1' при­над­ле­жит от­рез­ку M1N1 и сов­па­да­ет с точ­кой P1, в про­тив­ном слу­чае вме­сто при­ве­ден­но­го ра­вен­ства было бы спра­вед­ли­во нера­вен­ство тре­уголь­ни­ка       M1Р1'+ Р1'N1 > M1N1. То есть мы до­ка­за­ли, что при дви­же­нии любая точка любая точка Р от­рез­ка MN обя­за­тель­но пе­рей­дет в неко­то­рую точку Р1 от­рез­ка M1N1. Вто­рая часть тео­ре­мы (ка­са­тель­но точки Q1) до­ка­зы­ва­ет­ся аб­со­лют­но ана­ло­гич­но.

До­ка­зан­ная тео­ре­ма спра­вед­ли­ва для любых дви­же­ний!

Тео­ре­ма: при дви­же­нии угол пе­ре­хо­дит в рав­ный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть за­да­но неко­то­рое дви­же­ние, при ко­то­ром вер­ши­на ÐО пе­ре­хо­дит в точку О1, а точки А и В – со­от­вет­ствен­но в точки А1 и В1.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки АОВ и А1О1В1. По усло­вию тео­ре­мы, точки А, О и В пе­ре­хо­дят при дви­же­нии в точки А1, О1 и В1со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, имеет место ра­вен­ство длин        АО = А1О1, ОВ = О1В1 и АВ = А1В1. Таким об­ра­зом, АОВ = А1О1В1 по трем сто­ро­нам. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков вы­те­ка­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих углов О и О1.

Итак, любое дви­же­ние со­хра­ня­ет углы.

Из ос­нов­ных свойств дви­же­ния вы­те­ка­ет масса след­ствий, в част­но­сти то, что любая фи­гу­ра при дви­же­нии отоб­ра­жа­ет­ся на рав­ную ей фи­гу­ру

Рис. 2.

Рас­смот­рим еще один вид дви­же­ния – па­рал­лель­ный пе­ре­нос.

Па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом на неко­то­рый за­дан­ный век­тор  на­зы­ва­ет­ся такое отоб­ра­же­ние плос­ко­сти на саму себя, при ко­то­ром каж­дая точка М плос­ко­сти пе­ре­хо­дит в такую точку М1 той же плос­ко­сти, чтобы   (Рис. 3).

Рис. 3.

До­ка­жем, что па­рал­лель­ный пе­ре­нос яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

До­ка­за­тель­ство.

Рас­смот­рим про­из­воль­ный от­ре­зок MN (Рис. 4). Пусть при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се точка М пе­ре­ш­ла в точку М1, а точка N – в точку N1. При этом вы­пол­не­ны усло­вия па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са:   и  . Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник

 ММ1N1N. У него две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны (MM1 и NN1) равны и па­рал­лель­ны, как это про­дик­то­ва­но усло­ви­я­ми па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са. Сле­до­ва­тель­но, дан­ный че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом со­глас­но од­но­му из при­зна­ков по­след­не­го. От­сю­да вы­те­ка­ет, что и дру­гие две сто­ро­ны (MN и M1N1) па­рал­ле­ло­грам­ма имеют рав­ные длины, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Таким об­ра­зом, па­рал­лель­ный пе­ре­нос, дей­стви­тель­но, яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

Рис. 4.

Под­ве­дем итоги. Мы зна­ко­мы уже с тремя ви­да­ми дви­же­ний: осе­вой сим­мет­ри­ей, цен­траль­ной сим­мет­ри­ей и па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом. Мы до­ка­за­ли, что при дви­же­нии от­ре­зок пе­ре­хо­дит в от­ре­зок, а угол – в рав­ный ему угол. Кроме того, можно по­ка­зать, что пря­мая при дви­же­нии пе­ре­хо­дит в пря­мую и окруж­ность пе­ре­хо­дит в окруж­ность того же ра­ди­у­са.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dvizhenie/svoystva-dvizheniya-parallelnyy-perenos

http://www.youtube.com/watch?v=kAQ9J8EoFUM

http://www.youtube.com/watch?v=soXmyO2To-o

http://www.youtube.com/watch?v=ChwGcrn39h4

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/02/25/prezentatsiya-parallelnyy-perenos

http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/dvizhenie-10434/parallelnyi-perenos-i-povorot-9251/re-35537b4b-fe94-48de-8388-56489b9264e2

http://school.xvatit.com/index.php?title=%CF%E0%F0%E0%EB%EB%E5%EB%FC%ED%FB%E9_%EF%E5%F0%E5%ED%EE%F1_%E8_%E5%E3%EE_%F1%E2%EE%E9%F1%F2%E2%E0

http://static.wixstatic.com/media/13679f_b6c5d852872e4e378cc3d878e1c31898.jpg

http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/55e32aa0e4012bdea848db562c3c242b.jpg

https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F.%20%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%81%209%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81&img_url=http%3A%2F%2F5klass.net%2Fdatas%2Fgeometrija%2FDvizhenija%2F0017-017-Parallelnyj-perenos.jpg&pos=132&rpt=simage&_=1451586293655

Файлы