9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.
9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.
Комментарии преподавателя
Поворот как разновидность движения
1. Введение
Движение – отображение плоскости на себя, при котором расстояния между точками плоскости сохраняются.
Примеры движения: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.
Свойства движения: отрезок переходит в отрезок, угол переходит в равный ему угол, окружность переходит в окружность того же радиуса и т. п.
Рис. 1.
Пусть имеется некоторая выделенная точка О плоскости. Кроме того, рассмотрим произвольную точку М той же плоскости. Поворотом (обозначение – 
) относительно точки О, называемой центром поворота на Ðα (угол поворота) называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, что ОМ = ОМ1 и, кроме того, ÐМОМ1 = α (Рис. 1).
Докажем, что поворот является движением.
Доказательство (Рис. 2).
Рис. 2.
Рассмотрим точки М и N плоскости, переходящие при повороте соответственно в точки М1 и N1 той же плоскости.
Рассмотрим треугольники ОМN и ОМ1N1. В этих треугольниках ОМ = ОМ1 и ОN = ОN1. ÐМОN = α – ÐМОN1; ÐМ1ОN1 = α – ÐМОN1, следовательно, ÐМОN = ÐМ1ОN1. Таким образом, указанные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда вытекает равенство отрезков МN = М1N1. Поскольку точки М и N выбирались нами произвольно, можно утверждать, что при повороте длины отрезков сохраняются.
Теорема доказана.
Нам необходимо научиться использовать рассмотренный тип движения.
Задача (аналогичная № 1167 из учебника Атанасян, см. список литературы)
Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 60° против часовой стрелки (
∆АВС).
Решение (Рис. 3).
Рис. 3.
При повороте точка А перейдет в саму себя. Точки В и С перейдут в точки В1 и С1 соответственно. Углы треугольника и длины его сторон, в соответствии с общими свойствами движения, сохранятся (все обозначения сторон и углов даны на Рис. 3).
Построения при повороте крайне простые: при помощи циркуля построить дугу окружности радиусом, равным длине стороны треугольника (АС или АВ), с центром в точке А, далее при помощи транспортира отложить на дуге угол 60° и отметить точку-образ (В1 или С1). Соединив полученные точки-образы отрезками, можно получить искомый треугольник А1В1С1, являющийся образом треугольника АВС (∆АВС = ∆А1В1С1).
Задача (Атанасян, № 1168).
Точка О является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки О на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.
Решение.
Сделаем рисунок (Рис. 4).
Рис. 4.
Точка О пересечения биссектрис правильного треугольника является центром этого треугольника. Следовательно, вершины треугольника при повороте вокруг точки О будут «отрисовывать» дуги окружности, описанной около ∆АВС. Легко показать, что ÐВОС = ÐСОА = ÐАОВ = 120°. Следовательно, при повороте 
, точка А перейдет в точку В, точка В перейдет в точку С и точка С перейдет в точку А (напомним, что угол поворота считается положительным, если поворот происходит против часовой стрелки). Таким образом, ∆АВС = ∆АВС .
Задача решена.
Задача. Дана прямая, на которой заданы точка О1 и точка О2 и даны точки А и В, лежащие по разные стороны от этой прямой. Причем имеют место равенства расстояний: О1А = О1В, О2А = О2В.
Доказать, что точки А и В симметричны относительно указанной прямой.
Решение (Рис. 5).
Рис. 5.
Для доказательства требуемого в задаче утверждения нам необходимо доказать, что АМ = МВ и АВ^ О1О2 .
Построим окружность радиусом О1А с центром в точке О1 и окружность радиусом О2А с центром в точке О2.
Рассмотрим некоторую осевую симметрию с осью О1О2. При таком отображении полуокружности, расположенные в верхней полуплоскости, перейдут в соответствующие полуокружности, расположенные в нижней полуплоскости относительно оси симметрии. При этом точка пересечения «верхних» полуокружностей – точка А – перейдет в точку пересечения «нижних» полуокружностей – точку В. То есть точка В симметрична точке А относительно рассматриваемой прямой. Задача решена.
В заключение разберем еще один простое применение понятий симметрии.
Дан параллелограмм ABCD.
Доказать, что точка пересечения его диагоналей является его центром симметрии.
Напоминание: фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Рис. 6.
Решение (Рис. 6).
На рисунке точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма. В силу свойств параллелограмма AО = ОC и BО = ОD, а также любой отрезок, концы которого лежат на противоположных сторонах и проходящий через точку О (например, отрезок MN на Рис. 6), делится в этой точке пополам. Это означает, что при осуществлении центральной симметрии относительно центра, расположенного в точке О, все точки, принадлежащие сторонам, перейдут в точки, также принадлежащие сторонам. Таким образом, параллелограмм перейдет сам в себя, т. е. точка О – центр симметрии.
Подведем итоги: на данном уроке мы ввели в рассмотрение новый вид отображения плоскости на себя – поворот, доказали, что он является движением и решили ряд задач, которые помогут лучше понять изучаемую тему.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dvizhenie/povorot-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=DSkMMEW_b1g
http://www.youtube.com/watch?v=5_n4GnrlLu8
http://www.youtube.com/watch?v=RBLl222dYEs
http://www.metod-kopilka.ru/konspekt_uroka_po_geometrii_quotdvizheniya._parallelnyy_perenos_i_povorot.quot_9_klass-43054.htm
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/46-test-po-geometrii-9-klass-tema-parallelnyj-perenos-i-povorot-variant-1.html
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/47-test-po-geometrii-9-klass-tema-parallelnyj-perenos-i-povorot-variant-2.html
http://player.myshared.ru/750552/data/images/img6.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw