8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
Комментарии преподавателя
Трапеция
1. Трапеция и её виды
Определение
Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.
На Рис. 1. изображена произвольная трапеция. – это боковые стороны (те, которые не параллельны). – основания (параллельные стороны).
Рис. 1. Трапеция
Если сравнивать трапецию с параллелограммом, то у параллелограмма две пары параллельных сторон. То есть параллелограмм не является частным случаем трапеции, так как в определении трапеции чётко сказано, что две стороны трапеции не параллельны.
Выделим некоторые виды трапеции (частные случаи):
- равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны;
- прямоугольная трапеция: один из углов равен (из определения трапеции и свойства параллельных прямых следует, что два угла будут по ).
2. Средняя линия трапеции и её свойства
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
На Рис. 2. изображена трапеция со средней линией .
Рис. 2. Средняя линия трапеции
Свойства средней линии трапеции:
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.
Доказательство:
Пусть середина боковой стороны трапеции – точка . Проведём через эту точку прямую, параллельную основаниям. Эта прямая пересечёт вторую боковую сторону трапеции в точке .
По построению: . По теореме Фалеса из этого следует: . Значит, – середина стороны . Значит, – средняя линия.
Доказано.
2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции: .
Доказательство:
Проведём среднюю линию трапеции и одну из диагоналей: например, (см. Рис. 3).
Рис. 3
По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как равны отрезки: . Значит, отрезок является средней линией треугольника , а отрезок – средней линией треугольника .
Значит, .
Примечание: это следует из свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Первая часть этого свойства доказывается аналогично с доказательством первого свойства средней линии трапеции, а вторую часть можно доказать (к примеру, для средней линии треугольника ), проведя через точку прямую, параллельную . Из теоремы Фалеса будет следовать, что эта прямая будет являться средней линией, а образованный четырёхугольник – параллелограммом (две пары попарно параллельных сторон). Отсюда уже несложно получить требуемое свойство.
Получаем: .
Доказано.
Рассмотрим теперь подробнее основные виды трапеции и их свойства.
3. Признаки равнобедренной трапеции
Напомним, что равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны. Рассмотрим свойства боковой трапеции.
1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Доказательство:
Выполним стандартное дополнительное построение, которое очень часто используется при решении различных задач на трапецию: проведём прямую параллельно боковой стороне (см. Рис. 4).
Рис. 4
– параллелограмм.
Отсюда следует, что: . Значит, треугольник – равнобедренный. А значит, углы при его основании равны, то есть: (последние два угла равны, как соответственные при параллельных прямых ).
Доказано.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Доказательство:
Для доказательства этого свойства воспользуемся предыдущим. Действительно, рассмотрим треугольники: и (см. Рис. 5.).
Рис. 5
(по первому признаку равенства треугольников: две стороны и угол между ними).
Из этого равенства сразу следует, что: .
Доказано.
Оказывается, что, как и в случае с параллелограммом, у равнобедренной трапеции свойства одновременно являются и признаками. Сформулируем и докажем эти признаки.
Признаки равнобедренной трапеции
1. Дано: – трапеция; .
Доказать:
Доказательство:
Доказательство данного признака абсолютно аналогично доказательству соответствующего свойства. Проведём в трапеции прямую параллельно стороне (см. Рис. 6).
– параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).
(соответственные углы при параллельных прямых). Откуда, пользуясь условием, получаем: – равнобедренный
Рис. 6
(равны углы при основании). Значит: (у параллелограмма противоположные стороны равны).
Доказано.
2. Дано: – трапеция; .
Доказать: .
Доказательство:
Выполним ещё одно стандартное дополнительное построение при решении задач с трапецией: проведём через вершину прямую параллельно диагонали (см. Рис. 7).
Рис. 7
– параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).
(соответственные углы при параллельных прямых). Кроме того, – равнобедренный ( – по условию; – по свойству параллелограмма). А значит: .
Доказано.
4. Примеры задач
Рассмотрим несколько примеров решения задач с трапецией.
Пример 1.
Дано: – трапеция; .
Найти:
Решение:
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна – свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых. Из этого факта можно получить два равенства:
Ответ: .
Пример 2.
Дано: – трапеция; . .
Найти:
Решение:
Рис. 8
Проведём высоту . Получаем четырёхугольник , в котором противоположные стороны попарно параллельны, а два углы равны по . Значит, – параллелограмм, а точнее, прямоугольник.
Из этого следует, что . Откуда: .
Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём один из острых углов, по условию, равен . Значит, второй равен , то есть: . Воспользуемся свойством катета, лежащего против угла : он в два раза меньше гипотенузы.
.
Ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятие трапеции и её свойства, изучили виды трапеции, а также решили несколько примеров типовых задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya
http://www.youtube.com/watch?v=Yqw5oZ3iFAI
http://www.youtube.com/watch?v=HtSDY4BeMeA
http://www.youtube.com/watch?v=1tY3omQhTuk
http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg
http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg
http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif
Трапеция. Задача на среднюю линию трапеции.
http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg
http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg