8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
Комментарии преподавателя
Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»
1. Повторение свойств и признаков параллелограмма
Очевидно, что для решения задач на тему «Параллелограмм и трапеция», необходимо повторить основные понятия, связанные с этими фигурами. Вспомним их свойства и признаки.
Рассмотрим сначала параллелограмм.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм. 
параллелограмм.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. 
параллелограмм.
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. 
параллелограмм.
Рис. 4. Третий признак параллелограмма
2. Повторение свойств равнобедренной трапеции
Теперь рассмотрим такую фигуру, как трапеция. Отдельным ее видом является равнобедренная трапеция, имеющая важные свойства.
Определение. Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 5).
Рис. 5. Равнобедренная трапеция
Теперь сформулируем одновременно свойства и признаки равнобедренной трапеции в виде необходимого и достаточного условия.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Трапеция 
равнобедренная (см. Рис. 6) тогда и только тогда, когда:
а) 
– углы при основании равны;
б) 
– диагонали равны.
Рис. 6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
3. Задача на параллелограмм
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Из вершин 
и 
параллелограмма 
, у которого 
и угол 
острый, проведены перпендикуляры 
и 
к прямой 
. Докажите, что четырехугольник 
– параллелограмм.
Доказательство. Выполним Рис. 7.
Рассмотрим треугольники 
и 
:
– по острому углу и гипотенузе
Рис. 7
Перейдем к доказательству того, что – параллелограмм:
– параллелограмм по первому признаку параллелограмма, что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Задачи на построение
Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.
Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков (
и 
) и величина угла (
(см. Рис. 8).
Рис. 8
Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:
– анализ (план построения);
– построение (процесс построения);
– доказательство (доказательство того, что построена искомая фигура);
– исследование (доказательство того, что искомую фигуру возможно построить всегда, и притом только одну).
Проведем наши рассуждения в указанной последовательности:
Анализ. Предположим, что искомый параллелограмм построен (см. Рис. 9).
Рис. 9
В нем обратим внимание на треугольник 
, в котором две стороны ( и ) и угол ( являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.
Построение. Согласно намеченному в анализе плану построения, необходимо следовать следующему порядку действий:
1. Построить по углу 
и прилежащим сторонам 
и 
, что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.
2. Достроить треугольник до параллелограмма 
, проведя 
, 
, где точка 
(см. Рис. 10).
Рис. 10
Доказательство. На данном этапе требуется доказать, является ли построенный четырехугольник искомым параллелограммом.
Сначала докажем, что построенная фигура – параллелограмм:
Т.к. , по построению, то – параллелограмм по определению.
Теперь укажем, что данный параллелограмм является искомым:
В нем , и 
– искомый параллелограмм.
Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.
В нашем случае мы можем указать следующие факты:
1. При любых фиксированных 
существует единственный со сторонами , и углом между ними.
2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .
Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых .
Построено.
Пример 3. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и боковой стороне 
, перпендикулярной к основаниям.
Решение. Проведем построение искомой фигуры аналогично предыдущему примеру, но уже в сокращенной форме.
Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , 
) и высота трапеции (
) (см. Рис. 11).
Рис. 11
Строим отрезок и от него проводим два перпендикулярных отрезка 
и 
равные по длине и соответственно. Концы этих отрезков 
и 
соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).
Рис. 12
Указанная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи: ее основания равны 
и 
, боковая сторона 
перпендикулярна к основаниям.
Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный 
и единственный прямоугольный треугольник 
с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок 
можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции 
, ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.
Рис. 13
Построено.
5. Задача на трапецию
Пример 4. В трапеции 
проведены биссектрисы углов при вершинах 
. Найти угол между биссектрисами.
Решение. Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. Выполним Рис. 14.
Рис. 14
– биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их 
и 
.
По свойству трапеции 
.
Рассмотрим 
: 
.
Ответ. 
.
6. Решение задач по теме «Параллелограмм»
На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.
Пример 1.
Периметр параллелограмма 
равен 
, 
. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла
? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Дано: – параллелограмм; , 
– биссектриса .
Решение:
Рис. 1
Пусть 
. Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: 
.
Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?
Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса пересекает сторону 
(или её продолжение) в точке 
. Тогда: 
(по определению биссектрисы), 
(свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда: 
– равнобедренный. Значит, 
. Значит, 
.
Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: 
.
Ответ: биссектриса пересекает сторону и делит её на отрезки 
и 
.
Пример 2.
Стороны параллелограмма равны 
. Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Дано: – параллелограмм; 
– биссектрисы.
Найти: 
Решение:
Рис. 2
Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники 
– равнобедренные (так как 
, 
). Получаем, что 
. Тогда: 
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.
Дано: 
– равнобедренный треугольник (
); 
.
Доказать: 
Доказательство:
Рис. 3
– параллелограмм (по определению – так как: 
). Докажем, что треугольники 
– равнобедренные. Действительно: 
– как соответственные. С другой стороны, 
(свойство равнобедренного треугольника). Значит, 
и треугольники – равнобедренные. Тогда, 
, что и требовалось доказать.
Доказано
7. Решение задач по теме «Трапеция»
Пример 4.
В трапеции (
– большее основание): диагональ 
перпендикулярна боковой стороне 
, а 
. Периметр трапеции равен 
, 
. Найти длину большего основания трапеции.
Дано: – трапеция ( – большее основание), 
, 
, .
Найти: 
Решение:
Рис. 4
Рассмотрим треугольник 
: он прямоугольный (так как по условию 
, в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 
, следует, что: 
. В прямоугольном треугольнике с острым углом 
катет, лежащий против этого угла, в 
раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание 
, то 
.
– равнобедренная трапеция. Значит, 
. Кроме того, по свойству соответственных углов: 
– равнобедренный. Поэтому: 
.
Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : 
. Значит, большее основание трапеции: 
.
Ответ: 
.
Пример 5.
Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полусумме.
Дано: – трапеция (
), 
. 
.
Доказать: 
Доказательство:
Рис. 5
Выполним дополнительное построение: через точку 
проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника: 
и 
, которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма: 
. Но по условию: 
. Но углы 
вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 
. Значит: 
, а 
– прямоугольный.
Обозначим: 
. Так как и – параллелограммы, то: 
. Кроме того: 
. Отсюда: 
и 
– медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
Пример 6.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.
Дано: – трапеция (), 
, 
– высота, – средняя линия.
Доказать: 
Доказательство:
Рис. 6
Выполним дополнительное построение: через точку 
проведём прямую, параллельную диагонали 
. Эта прямая пересечёт продолжение основания в точке .
Четырёхугольник 
– параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: 
. Но в равнобедренной трапеции диагонали равны: 
– равнобедренный.
Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что 
. Но, по свойству соответственных углов: 
– прямоугольный.
– высота равнобедренного треугольника 
, а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит: 
.
Но так как – параллелограмм: 
. Получаем: 
(свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.
Доказано.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/reshenie-zadach-po-teme-parallelogramm-i-trapetsiya
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/reshenie-zadach-po-teme-parallelogramm-i-trapetsiya-prodolzhenie
http://www.youtube.com/watch?v=RKNR_LFzHbY
http://www.youtube.com/watch?v=rw7WmN7e3qg
http://www.youtube.com/watch?v=9R0Bdlczn60
http://geometriyaprosto.ru/vysota-trapecii-cherez-osnovaniya/
http://geometriyaprosto.ru/geometriya-trapeciya-zadachi-8-klass/
http://geometriyaprosto.ru/geometriya-trapeciya-zadachi-8-klass/
http://5klass.net/datas/geometrija/Teorema-Falesa-8-klass/0003-003-Zadachi-na-gotovykh-chertezhakh.jpg
http://festival.1september.ru/articles/412035/1.gif
http://newsmotizab.science/pic-www.slovo.ws/resh/002/07/02/pic/0500.gif
http://www.razlib.ru/matematika/geometrija_planimetrija_v_tezisah_i_reshenijah_9_klass/i_248.png
http://www.razlib.ru/matematika/geometrija_planimetrija_v_tezisah_i_reshenijah_9_klass/i_249.png
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw