8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
Комментарии преподавателя
Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»
1. Повторение свойств и признаков параллелограмма
Очевидно, что для решения задач на тему «Параллелограмм и трапеция», необходимо повторить основные понятия, связанные с этими фигурами. Вспомним их свойства и признаки.
Рассмотрим сначала параллелограмм.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 4. Третий признак параллелограмма
2. Повторение свойств равнобедренной трапеции
Теперь рассмотрим такую фигуру, как трапеция. Отдельным ее видом является равнобедренная трапеция, имеющая важные свойства.
Определение. Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 5).
Рис. 5. Равнобедренная трапеция
Теперь сформулируем одновременно свойства и признаки равнобедренной трапеции в виде необходимого и достаточного условия.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная (см. Рис. 6) тогда и только тогда, когда:
а) – углы при основании равны;
б) – диагонали равны.
Рис. 6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
3. Задача на параллелограмм
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Из вершин и параллелограмма , у которого и угол острый, проведены перпендикуляры и к прямой . Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство. Выполним Рис. 7.
Рассмотрим треугольники и :
– по острому углу и гипотенузе
Рис. 7
Перейдем к доказательству того, что – параллелограмм:
– параллелограмм по первому признаку параллелограмма, что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Задачи на построение
Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.
Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков ( и ) и величина угла ( (см. Рис. 8).
Рис. 8
Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:
– анализ (план построения);
– построение (процесс построения);
– доказательство (доказательство того, что построена искомая фигура);
– исследование (доказательство того, что искомую фигуру возможно построить всегда, и притом только одну).
Проведем наши рассуждения в указанной последовательности:
Анализ. Предположим, что искомый параллелограмм построен (см. Рис. 9).
Рис. 9
В нем обратим внимание на треугольник , в котором две стороны ( и ) и угол ( являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.
Построение. Согласно намеченному в анализе плану построения, необходимо следовать следующему порядку действий:
1. Построить по углу и прилежащим сторонам и , что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.
2. Достроить треугольник до параллелограмма , проведя , , где точка (см. Рис. 10).
Рис. 10
Доказательство. На данном этапе требуется доказать, является ли построенный четырехугольник искомым параллелограммом.
Сначала докажем, что построенная фигура – параллелограмм:
Т.к. , по построению, то – параллелограмм по определению.
Теперь укажем, что данный параллелограмм является искомым:
В нем , и – искомый параллелограмм.
Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.
В нашем случае мы можем указать следующие факты:
1. При любых фиксированных существует единственный со сторонами , и углом между ними.
2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .
Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых .
Построено.
Пример 3. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и боковой стороне , перпендикулярной к основаниям.
Решение. Проведем построение искомой фигуры аналогично предыдущему примеру, но уже в сокращенной форме.
Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , ) и высота трапеции () (см. Рис. 11).
Рис. 11
Строим отрезок и от него проводим два перпендикулярных отрезка и равные по длине и соответственно. Концы этих отрезков и соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).
Рис. 12
Указанная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи: ее основания равны и , боковая сторона перпендикулярна к основаниям.
Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный и единственный прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции , ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.
Рис. 13
Построено.
5. Задача на трапецию
Пример 4. В трапеции проведены биссектрисы углов при вершинах . Найти угол между биссектрисами.
Решение. Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. Выполним Рис. 14.
Рис. 14
– биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их и .
По свойству трапеции .
Рассмотрим : .
Ответ. .
6. Решение задач по теме «Параллелограмм»
На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.
Пример 1.
Периметр параллелограмма равен , . Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Дано: – параллелограмм; , – биссектриса .
Решение:
Рис. 1
Пусть . Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: .
Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?
Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса пересекает сторону (или её продолжение) в точке . Тогда: (по определению биссектрисы), (свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда: – равнобедренный. Значит, . Значит, .
Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: .
Ответ: биссектриса пересекает сторону и делит её на отрезки и .
Пример 2.
Стороны параллелограмма равны . Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Дано: – параллелограмм; – биссектрисы.
Найти:
Решение:
Рис. 2
Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники – равнобедренные (так как , ). Получаем, что . Тогда: .
Ответ: .
Пример 3.
Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.
Дано: – равнобедренный треугольник (); .
Доказать:
Доказательство:
Рис. 3
– параллелограмм (по определению – так как: ). Докажем, что треугольники – равнобедренные. Действительно: – как соответственные. С другой стороны, (свойство равнобедренного треугольника). Значит, и треугольники – равнобедренные. Тогда, , что и требовалось доказать.
Доказано
7. Решение задач по теме «Трапеция»
Пример 4.
В трапеции ( – большее основание): диагональ перпендикулярна боковой стороне , а . Периметр трапеции равен , . Найти длину большего основания трапеции.
Дано: – трапеция ( – большее основание), , , .
Найти:
Решение:
Рис. 4
Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию , в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следует, что: . В прямоугольном треугольнике с острым углом катет, лежащий против этого угла, в раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание , то .
– равнобедренная трапеция. Значит, . Кроме того, по свойству соответственных углов: – равнобедренный. Поэтому: .
Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : . Значит, большее основание трапеции: .
Ответ: .
Пример 5.
Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полусумме.
Дано: – трапеция (), . .
Доказать:
Доказательство:
Рис. 5
Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника: и , которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма: . Но по условию: . Но углы вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна . Значит: , а – прямоугольный.
Обозначим: . Так как и – параллелограммы, то: . Кроме того: . Отсюда: и – медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть:, что и требовалось доказать.
Доказано.
Пример 6.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.
Дано: – трапеция (), , – высота, – средняя линия.
Доказать:
Доказательство:
Рис. 6
Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямую, параллельную диагонали . Эта прямая пересечёт продолжение основания в точке .
Четырёхугольник – параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: . Но в равнобедренной трапеции диагонали равны: – равнобедренный.
Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что . Но, по свойству соответственных углов: – прямоугольный.
– высота равнобедренного треугольника , а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит: .
Но так как – параллелограмм: . Получаем: (свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.
Доказано.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/reshenie-zadach-po-teme-parallelogramm-i-trapetsiya
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/reshenie-zadach-po-teme-parallelogramm-i-trapetsiya-prodolzhenie
http://www.youtube.com/watch?v=RKNR_LFzHbY
http://www.youtube.com/watch?v=rw7WmN7e3qg
http://www.youtube.com/watch?v=9R0Bdlczn60
http://geometriyaprosto.ru/vysota-trapecii-cherez-osnovaniya/
http://geometriyaprosto.ru/geometriya-trapeciya-zadachi-8-klass/
http://geometriyaprosto.ru/geometriya-trapeciya-zadachi-8-klass/
http://5klass.net/datas/geometrija/Teorema-Falesa-8-klass/0003-003-Zadachi-na-gotovykh-chertezhakh.jpg
http://festival.1september.ru/articles/412035/1.gif
http://newsmotizab.science/pic-www.slovo.ws/resh/002/07/02/pic/0500.gif
http://www.razlib.ru/matematika/geometrija_planimetrija_v_tezisah_i_reshenijah_9_klass/i_248.png
http://www.razlib.ru/matematika/geometrija_planimetrija_v_tezisah_i_reshenijah_9_klass/i_249.png
http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg
http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw