8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.

8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние задач по теме «Па­рал­ле­ло­грамм и тра­пе­ция»

 1. Повторение свойств и признаков параллелограмма

Оче­вид­но, что для ре­ше­ния задач на тему «Па­рал­ле­ло­грамм и тра­пе­ция», необ­хо­ди­мо по­вто­рить ос­нов­ные по­ня­тия, свя­зан­ные с этими фи­гу­ра­ми. Вспом­ним их свой­ства и при­зна­ки.

Рас­смот­рим сна­ча­ла па­рал­ле­ло­грамм.

Опре­де­ле­ние. Па­рал­ле­ло­грамм – че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па­рал­ле­ло­грамм

Ос­нов­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма:

Чтобы иметь воз­мож­ность при ре­ше­нии задач поль­зо­вать­ся ука­зан­ны­ми свой­ства­ми, нам необ­хо­ди­мо по­ни­мать, яв­ля­ет­ся ли ука­зан­ный че­ты­рех­уголь­ник па­рал­ле­ло­грам­мом или нет. Для этого необ­хо­ди­мо знать при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма.

Тео­ре­ма. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны (см. Рис. 2), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 2. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны (см. Рис. 3), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 3. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам (см. Рис. 4), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 4. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

 2. Повторение свойств равнобедренной трапеции

Те­перь рас­смот­рим такую фи­гу­ру, как тра­пе­ция. От­дель­ным ее видом яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, име­ю­щая важ­ные свой­ства.

Опре­де­ле­ние. Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция – это тра­пе­ция, в ко­то­рой бо­ко­вые сто­ро­ны равны (см. Рис. 5).

 

Рис. 5. Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция

Те­перь сфор­му­ли­ру­ем од­но­вре­мен­но свой­ства и при­зна­ки рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции в виде необ­хо­ди­мо­го и до­ста­точ­но­го усло­вия.

Свой­ства и при­зна­ки рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Тра­пе­ция  рав­но­бед­рен­ная (см. Рис. 6) тогда и толь­ко тогда, когда:

а)  – углы при ос­но­ва­нии равны;

б)  – диа­го­на­ли равны.

Рис. 6. Свой­ства и при­зна­ки рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции

 3. Задача на параллелограмм

Рас­смот­рим при­ме­ры ре­ше­ния задач.

При­мер 1. Из вер­шин  и  па­рал­ле­ло­грам­ма , у ко­то­ро­го  и угол  ост­рый, про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры  и  к пря­мой . До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник  – па­рал­ле­ло­грамм.

До­ка­за­тель­ство. Вы­пол­ним Рис. 7.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и :

 – по остро­му углу и ги­по­те­ну­зе

Рис. 7

Пе­рей­дем к до­ка­за­тель­ству того, что  – па­рал­ле­ло­грамм:

 – па­рал­ле­ло­грамм по пер­во­му при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

 4. Задачи на построение

При­мер 2. По­строй­те па­рал­ле­ло­грамм по двум смеж­ным сто­ро­нам и углу между ними.

Ре­ше­ние. Нам из­вест­ны сле­ду­ю­щие дан­ные: длины двух от­рез­ков ( и ) и ве­ли­чи­на угла ( (см. Рис. 8).

Рис. 8

Все за­да­чи на по­стро­е­ние пред­по­ла­га­ют на­ли­чие несколь­ких стан­дарт­ных эта­пов:

– ана­лиз (план по­стро­е­ния);

– по­стро­е­ние (про­цесс по­стро­е­ния);

– до­ка­за­тель­ство (до­ка­за­тель­ство того, что по­стро­е­на ис­ко­мая фи­гу­ра);

– ис­сле­до­ва­ние (до­ка­за­тель­ство того, что ис­ко­мую фи­гу­ру воз­мож­но по­стро­ить все­гда, и при­том толь­ко одну).

Про­ве­дем наши рас­суж­де­ния в ука­зан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти:

Ана­лиз. Пред­по­ло­жим, что ис­ко­мый па­рал­ле­ло­грамм по­стро­ен (см. Рис. 9).

Рис. 9

В нем об­ра­тим вни­ма­ние на тре­уголь­ник , в ко­то­ром две сто­ро­ны ( и ) и угол ( яв­ля­ют­ся ука­зан­ны­ми в усло­вии за­да­чи. Если по­стро­ен дан­ный тре­уголь­ник, то его до­ста­точ­но будет до­стро­ить до па­рал­ле­ло­грам­ма, и по­стро­е­ние будет за­кон­че­но. Будем поль­зо­вать­ся этим далее, как пла­ном.

По­стро­е­ние. Со­глас­но на­ме­чен­но­му в ана­ли­зе плану по­стро­е­ния, необ­хо­ди­мо сле­до­вать сле­ду­ю­ще­му по­ряд­ку дей­ствий:

1. По­стро­ить  по углу  и при­ле­жа­щим сто­ро­нам  и , что яв­ля­ет­ся стан­дарт­ной за­да­чей, с ко­то­рой мы уже зна­ко­мы и умеем вы­пол­нить такое по­стро­е­ние.

2. До­стро­ить тре­уголь­ник до па­рал­ле­ло­грам­ма , про­ве­дя , где точка  (см. Рис. 10).

Рис. 10

До­ка­за­тель­ство. На дан­ном этапе тре­бу­ет­ся до­ка­зать, яв­ля­ет­ся ли по­стро­ен­ный че­ты­рех­уголь­ник ис­ко­мым па­рал­ле­ло­грам­мом.

Сна­ча­ла до­ка­жем, что по­стро­ен­ная фи­гу­ра – па­рал­ле­ло­грамм:

Т.к.  по по­стро­е­нию, то  – па­рал­ле­ло­грамм по опре­де­ле­нию.

Те­перь ука­жем, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ис­ко­мым:

В нем  и   – ис­ко­мый па­рал­ле­ло­грамм.

Ис­сле­до­ва­ние. На дан­ном за­клю­чи­тель­ном этапе мы обя­за­ны до­ка­зать, что по­стро­ен­ный па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся един­ствен­ным, и ука­зать, все­гда ли его можно по­стро­ить.

В нашем слу­чае мы можем ука­зать сле­ду­ю­щие факты:

1. При любых фик­си­ро­ван­ных  су­ще­ству­ет един­ствен­ный  со сто­ро­на­ми  и углом  между ними.

2. Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пара пря­мых , т.е. един­ствен­ная 4-я вер­ши­на па­рал­ле­ло­грам­ма , ко­то­рая яв­ля­ет­ся точ­кой .

Можем сде­лать вывод: ис­ко­мый па­рал­ле­ло­грамм су­ще­ству­ет и един­стве­нен при любых .

По­стро­е­но.

При­мер 3. По­строй­те пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию  по ос­но­ва­ни­ям и бо­ко­вой сто­роне , пер­пен­ди­ку­ляр­ной к ос­но­ва­ни­ям.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ние ис­ко­мой фи­гу­ры ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру, но уже в со­кра­щен­ной форме.

Из­вест­ны сле­ду­ю­щие дан­ные: длины двух ос­но­ва­ний ( и ) и вы­со­та тра­пе­ции () (см. Рис. 11).

Рис. 11

Стро­им от­ре­зок  и от него про­во­дим два пер­пен­ди­ку­ляр­ных от­рез­ка  и   рав­ные по длине  и  со­от­вет­ствен­но. Концы этих от­рез­ков  и  со­еди­ня­ем и по­лу­ча­ем ис­ко­мую тра­пе­цию (см. Рис. 12).

Рис. 12

Ука­зан­ная тра­пе­ция удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи: ее ос­но­ва­ния равны  и , бо­ко­вая сто­ро­на  пер­пен­ди­ку­ляр­на к ос­но­ва­ни­ям.

За­да­ча имеет един­ствен­ное ре­ше­ние: су­ще­ству­ет един­ствен­ный тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный  и един­ствен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  с ка­те­та­ми, длины ко­то­рых равны зна­че­ни­ям, ука­зан­ным в усло­вии. Может воз­ник­нуть со­мне­ние в един­ствен­но­сти ре­ше­ния, если пред­ста­вить, что при по­стро­е­нии тра­пе­ции от­ре­зок  можно от­ло­жить в дру­гую сто­ро­ну. При этом, чтобы со­хра­нить ука­зан­ную по­сле­до­ва­тель­ность вер­шин в тра­пе­ции , ее сле­ду­ет изоб­ра­зить, как на Рис. 13. А это не пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Сле­до­ва­тель­но, наше по­стро­е­ние един­ствен­но.

Рис. 13

По­стро­е­но.

 5. Задача на трапецию

При­мер 4. В тра­пе­ции   про­ве­де­ны бис­сек­три­сы углов при вер­ши­нах . Найти угол между бис­сек­три­са­ми.

Ре­ше­ние. Ин­те­рес­но, что усло­вие за­да­чи и ре­ше­ние в рав­ной сте­пе­ни под­хо­дит и для слу­чая па­рал­ле­ло­грам­ма и тра­пе­ции. Вы­пол­ним Рис. 14.

Рис. 14

 – бис­сек­три­сы, они делят со­от­вет­ству­ю­щие углы по­по­лам, обо­зна­чим их  и .

По свой­ству тра­пе­ции .

Рас­смот­рим .

Ответ. .

 6. Решение задач по теме «Параллелограмм»

На про­шлом уроке мы уже рас­смот­ре­ли ряд задач, свя­зан­ных с па­рал­ле­ло­грам­мом и тра­пе­ци­ей. На этом уроке про­дол­жим ре­шать раз­лич­ные при­ме­ры на эту тему.

При­мер 1.

Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма  равен . Какую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­са угла? Найти от­рез­ки, ко­то­рые об­ра­зу­ют­ся при этом пе­ре­се­че­нии.

Дано:  – па­рал­ле­ло­грамм;  – бис­сек­три­са .

Ре­ше­ние:

Рис. 1

Пусть . Вос­поль­зу­ем­ся тем фак­том, что пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен . Тогда: .

Как же вы­яс­нить: какую сто­ро­ну пе­ре­се­чёт бис­сек­три­са ?

Для этого вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щи­ми рас­суж­де­ни­я­ми. Пусть бис­сек­три­са  пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну  (или её про­дол­же­ние) в точке . Тогда:  (по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы),  (свой­ство внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов при па­рал­лель­ных пря­мых). От­сю­да:  – рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, . Зна­чит, .

Мы прак­ти­че­ски от­ве­ти­ли и на вто­рой во­прос за­да­чи: .

Ответ: бис­сек­три­са  пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну  и делит её на от­рез­ки  и .

При­мер 2.

Сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны . Бис­сек­три­сы двух углов, при­ле­га­ю­щих к боль­шей сто­роне, делят про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну на три от­рез­ка. Най­ди­те эти от­рез­ки.

Дано:  – па­рал­ле­ло­грамм;  – бис­сек­три­сы.

Найти: 

Ре­ше­ние:

Рис. 2

Если вос­поль­зо­вать­ся ре­ше­ни­ем при­ме­ра 1, можно сразу сде­лать вывод, что тре­уголь­ни­ки  – рав­но­бед­рен­ные (так как ). По­лу­ча­ем, что . Тогда: .

Ответ: .

При­мер 3.

Через про­из­воль­ную точку ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка про­ве­де­ны две пря­мые, па­рал­лель­ные бо­ко­вым сто­ро­нам. До­ка­зать, что пе­ри­метр по­лу­чен­но­го че­ты­рёх­уголь­ни­ка равен сумме бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Дано:  – рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник (); .

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 3

 – па­рал­ле­ло­грамм (по опре­де­ле­нию – так как: ). До­ка­жем, что тре­уголь­ни­ки  – рав­но­бед­рен­ные. Дей­стви­тель­но:  – как со­от­вет­ствен­ные. С дру­гой сто­ро­ны,  (свой­ство рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка). Зна­чит,  и тре­уголь­ни­ки  – рав­но­бед­рен­ные. Тогда, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но

 7. Решение задач по теме «Трапеция»

При­мер 4.

В тра­пе­ции  ( – боль­шее ос­но­ва­ние): диа­го­наль  пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­вой сто­роне , а . Пе­ри­метр тра­пе­ции равен . Найти длину боль­ше­го ос­но­ва­ния тра­пе­ции.

Дано:  – тра­пе­ция ( – боль­шее ос­но­ва­ние), ,  .

Найти: 

Ре­ше­ние:

Рис. 4

Рас­смот­рим тре­уголь­ник : он пря­мо­уголь­ный (так как по усло­вию , в нём . Из того, что сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна , сле­ду­ет, что: . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с ост­рым углом  катет, ле­жа­щий про­тив этого угла, в  раза мень­ше ги­по­те­ну­зы. По­это­му, если мы обо­зна­чим ос­но­ва­ние , то .

 – рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Зна­чит, . Кроме того, по свой­ству со­от­вет­ствен­ных углов:  – рав­но­бед­рен­ный. По­это­му: .

Оста­лось вос­поль­зо­вать­ся тем фак­том, что пе­ри­метр тра­пе­ции равен . Зна­чит, боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции: .

Ответ: .

При­мер 5.

Сумма углов при одном из ос­но­ва­ний тра­пе­ций равна . До­ка­зать, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, равен их по­лу­сум­ме.

Дано:  – тра­пе­ция (), .

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 5

Вы­пол­ним до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние: через точку  про­ве­дём пря­мые, па­рал­лель­ные бо­ко­вым сто­ро­нам тра­пе­ции. В ре­зуль­та­те об­ра­зу­ют­ся два че­ты­рёх­уголь­ни­ка:  и , ко­то­рые яв­ля­ют­ся па­рал­ле­ло­грам­ма­ми (по опре­де­ле­нию – у них про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны). Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством па­рал­ле­ло­грам­ма: . Но по усло­вию: . Но углы  вме­сте об­ра­зу­ют раз­вёр­ну­тый угол, по­это­му их сумма равна . Зна­чит: , а  – пря­мо­уголь­ный.

Обо­зна­чим: . Так как  и  – па­рал­ле­ло­грам­мы, то: . Кроме того: . От­сю­да:  и  – ме­ди­а­на . Но в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна по­ло­вине ги­по­те­ну­зы, то есть:, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

При­мер 6.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. До­ка­зать, что сред­няя линия тра­пе­ции равна её вы­со­те.

Дано:  – тра­пе­ция (),  – вы­со­та,  – сред­няя линия.  

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 6

Вы­пол­ним до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние: через точку  про­ве­дём пря­мую, па­рал­лель­ную диа­го­на­ли . Эта пря­мая пе­ре­се­чёт про­дол­же­ние ос­но­ва­ния  в точке .

Че­ты­рёх­уголь­ник  – па­рал­ле­ло­грамм (по опре­де­ле­нию: у него обе пары сто­рон по­пар­но па­рал­лель­ны, одна пара – по по­стро­е­нию, вто­рая – как ос­но­ва­ния тра­пе­ции). Зна­чит: . Но в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли равны:  – рав­но­бед­рен­ный.

Кроме того, по усло­вию диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Это зна­чит, что . Но, по свой­ству со­от­вет­ствен­ных углов:  – пря­мо­уголь­ный.

 – вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, и его ме­ди­а­на (свой­ство рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка). Но в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна по­ло­вине ги­по­те­ну­зы. Зна­чит: .

Но так как  – па­рал­ле­ло­грамм: . По­лу­ча­ем:  (свой­ство сред­ней линии тра­пе­ции), что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/reshenie-zadach-po-teme-parallelogramm-i-trapetsiya

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/reshenie-zadach-po-teme-parallelogramm-i-trapetsiya-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=RKNR_LFzHbY

http://www.youtube.com/watch?v=rw7WmN7e3qg

http://www.youtube.com/watch?v=9R0Bdlczn60

http://geometriyaprosto.ru/vysota-trapecii-cherez-osnovaniya/

http://geometriyaprosto.ru/geometriya-trapeciya-zadachi-8-klass/

http://geometriyaprosto.ru/geometriya-trapeciya-zadachi-8-klass/

http://5klass.net/datas/geometrija/Teorema-Falesa-8-klass/0003-003-Zadachi-na-gotovykh-chertezhakh.jpg

http://festival.1september.ru/articles/412035/1.gif

http://newsmotizab.science/pic-www.slovo.ws/resh/002/07/02/pic/0500.gif

http://www.razlib.ru/matematika/geometrija_planimetrija_v_tezisah_i_reshenijah_9_klass/i_248.png

http://www.razlib.ru/matematika/geometrija_planimetrija_v_tezisah_i_reshenijah_9_klass/i_249.png

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы